Tengo dificultades para resolver las dos preguntas siguientes.
1) Para la primera pregunta, el autor del texto afirma que si $f:[a,b]\rightarrow R$ es un mapa, entonces $\text{Im} f$ es un intervalo cerrado y acotado.
Pregunta: Que $X \subseteq R$ et $X$ es la unión de los intervalos abiertos $(3n, 3n+1)$ y los puntos $3n+2,\text{ for } n= 0,1,2,\dots$ . Sea $Y=(X-\{2\})\cup \{2\}$ . Demostrar que existen biyecciones continuas $f:X\rightarrow Y, g:Y\rightarrow X$ pero que $X, Y$ no son homeomórficos.
Puedo crear la biyección desde $X\text{ to }Y$ et $Y\text{ to }X$ .
Desde $X\text{ to }Y$ , yo mapearía $\{2\}\text{ to }\{1\}$ y todo lo demás sería mapeado a sí mismo, por lo que obtengo tanto un mapeo inyectivo como un mapeo subjetivo. De la $Y\text{ to }X$ dirección, yo sólo mapearía $\{1\}\text{ to }\{2\}$ y todo lo demás se asignaría a sí mismo. Vuelvo a obtener un mapeo biyectivo Pero, ¿cómo puedo mostrar ese mapa desde $X\text{ to }$ Y también $Y\text{ to }X$ ¿son ambos continuos? $X$ se compone de intervalos abiertos y monotonales, al igual que el conjunto $Y$ . ¿Se supone que debo imponer algún tipo de topología en $X\text{ and }Y$ y luego describir los elementos de base? Además, ¿por qué los conjuntos $\text{Im }F\text{ and Im }g$ ¿no está acotado o cerrado?
Para el segundo problema:
Construir el homeomorfismo $f:[0,1]\times[0,1]\rightarrow[0,1]\times[0,1]$ tal que $f$ mapas $[0,1]\times\{0,1\} \cup \{0\}\times[0,1]$ en $\{0\}\times[0,1]$ .
Mis dificultades con esta pregunta son:
¿Debo interpretar $[0,1]\times\{0,1\} \cup \{0\}\times[0,1]$ para significar $([0,1]\times\{0,1\}) \cup (\{0\}\times[0,1])$ ? Si es así, entonces $([0,1]\times\{0,1\}) \cup (\{0\}\times[0,1])$ es un subconjunto de $([0,1] \cup \{0\})\times(\{0,1\} \cup [0,1])$ por una propiedad del producto cartesiano. No estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.
Gracias de antemano
