Por qué la continuidad de $f$ no es una condición necesaria?

Question

Soy bastante nuevo en el tema de las funciones y la continuidad, y ahora estoy leyendo las diapositivas relativas a la teorema del valor intermedio que está relacionado con la continuidad de las funciones.

Mientras leía, encontré lo siguiente:

La función $f(x) := sin(\frac{1}{x})$ para $x \neq 0$ y $f(0) := 0$ no es continua, pero sigue satisfaciendo la propiedad del valor intermedio.

He entendido que la función no es continua, porque no está definida para $x = 0$ pero no entiendo por qué sigue satisfaciendo la propiedad del valor intermedio.

¿Podría aclararme esto, por favor? ¿Cuál es la relación con el título de esta pregunta?

¿Por qué dice que $f(0) := 0$ ? No debería definirse para $x = 0$ ...

Answer 1

La gama de $f$ es $[-1,1]$ . En chaque intervalo $(-x,0)$ y $(0,x)$ para $x > 0$ , $f$ alcanza todos los valores de su rango. (De hecho, todos los valores del rango se alcanzan infinitas veces en cada uno de esos intervalos).

Por lo tanto, dados dos puntos $a < 0 < b$ cada valor intermedio $V$ con $-1 \leq f(a) < V < f(b) \leq 1$ se alcanza para algún punto $p \in (a,b)$ . Esto se debe a que $V$ se alcanza en algún punto de $(a,0)$ y en $(0,b)$ .

Uno de los puntos clave del argumento es que cada valor intermedio $V$ está en el rango de $f$ . Hay otros contraejemplos del Teorema del Valor Intermedio en los que no se da el caso (por ejemplo, $f(x) = 1$ para $x \neq 0$ , $f(0) = 0$ .)

Si este argumento le parece opaco, intente dibujar un diagrama de la situación descrita en el segundo párrafo.

Answer 2

La propiedad del valor intermedio consiste en que si se eligen dos números $x$ y $y$ tal que $f(x)=a$ y $f(y)=b$ , y tú eliges un número $c$ en el medio $a$ y $b$ , entonces hay un número $z$ en el medio $x$ y $y$ tal que $f(z)=c$ . Esto será más fácil de ver si se dibuja un diagrama del mismo.

Esta propiedad es cierta para todas las funciones continuas, pero no toda función con esta propiedad es continua. La función que has dado es un ejemplo de función que tiene esta propiedad sin ser continua.

La otra respuesta da una prueba de que su función tiene la propiedad del valor intermedio, sólo pensé en dar la información de fondo.