Encontrar el ángulo entre dos líneas en el plano complejo sin convertir a componentes reales e imaginarias

Question

¿Cómo encontrar el ángulo entre dos líneas en el plano complejo, sin pasar por el camino real (rompiendo $z$ en $x+yi$ y resolver encontrando la tangente de las pendientes)?

Por ejemplo, si mis líneas fueran de la forma

$$\begin{align} az+\overline{az} + b &=0 \\ dz+\overline{dz} + c &=0 \\ \end{align}$$

para los complejos $a$ , $d$ y real $b$ , $c$ .

Sé que podemos determinar si son paralelas o perpendiculares multiplicando $ad$ y ver si es cero, o si $d$ es un escalar de $a$ pero, ¿ayuda esto? ¿Implica esto de alguna manera encontrar el arccos() entre dos vectores?

Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Denotemos $$ L_1 = \{ z \in \Bbb C \mid az+\overline{az} + b=0 \} \, ,\\ L_2 = \{ z \in \Bbb C \mid dz+\overline{dz} + c=0 \} \, . $$ con $a, d \in \Bbb C\setminus \{ 0 \}$ y $b, c\in \Bbb R$ . Desde $$ az+\overline{az} + b = d\left( \frac ad z+\frac{b-c}{2d}\right) + \overline {d\left( \frac ad z+\frac{b-c}{2d}\right)} + c $$ tenemos $$ z \in L_1 \iff \frac ad z+\frac{b-c}{2d} \in L_2 \, . $$

Si $a/d$ no es un número real, entonces las dos líneas se cruzan en un solo punto y el ángulo orientado desde $L_1$ a $L_2$ es $\arg(a/d)$ .

Por lo demás, las líneas son idénticas ( $b=c$ ) o en paralelo ( $b \ne c$ ).

Answer 2

Es más sencillo, WLOG, trabajar en el origen, trayendo por traslación las ecuaciones de las líneas a ser:

$$az+\overline{az}=0, \ \ dz+\overline{dz}=0 $$

Por lo demás, como ha recordado @dxiv:

$$\Re(az)=0, \ \ \Re(dz')=0 \tag{1}$$

donde podemos suponer, WLOG de nuevo, que $|a|=|d|=|z|=|z'|=1$ (donde $z$ y $z'$ se consideran ahora como puntos representativos de sus respectivas líneas a la distancia $1$ desde el origen).

Con anotaciones evidentes, (1) se convierte en:

$$\Re(e^{i \alpha}e^{i\theta})=0, \ \ \Re(e^{i \delta}e^{i\theta'})=0$$

$$\cos(\alpha+\theta)=0, \ \ \ \ \cos(\delta+\theta')=0$$

$$\alpha+\theta=\pi/2 + k \pi, \ \ \ \ \delta+\theta'=\pi/2 + k' \pi \tag{2}$$

Por lo tanto, restando las relaciones en (2), obtenemos el "hueco" angular entre las dos líneas:

$$\theta'-\theta = \underbrace{ \alpha - \delta}_{arg(\tfrac{a}{d})} + k'' \pi$$

Answer 3

Cambia tu notación a polar y expresa tus líneas como vectores con ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ . El ángulo intermedio es simplemente su diferencia, por lo que $\Delta \theta$ .