Determinación de un límite inferior en el orden de un grupo basado en su presentación

Question

Estoy leyendo el libro de Álgebra Abstracta de Dummit y Foote (3ª edición).

En las páginas 26-27 definen un grupo diedro:

$D_{2n} = \langle r,s | r^n = s^2 = 1, rs = sr^{-1} \rangle$

Los autores describen un grupo (las rotaciones de un n-gon regular, donde $r$ es $\frac{2\cdot\Pi}{n}$ rotación y $s$ es un flip) que satisface esta representación.

Entonces afirman que, basándose en la existencia de tal grupo, cualquier grupo con tal representación debe tener un orden de al menos 2n . ¿Por qué es así? ¿Hay algún teorema del que se derive la afirmación?

Answer 1

Si toma $G_{2n}$ como el subgrupo de las transformaciones ortogonales (rotaciones, volteos, etc.), no es difícil ver que este grupo tiene efectivamente $2n$ elementos, y que es una imagen homomórfica de $D_{2n}$ . (Teniendo en cuenta en qué punto del libro está la observación, este argumento de la imagen homomórfica no es del todo kosher). Así, el orden de $D_{2n}$ debe ser al menos igual al orden de $G_{2n}$ .