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Determinación de un límite inferior en el orden de un grupo basado en su presentación

Estoy leyendo el libro de Álgebra Abstracta de Dummit y Foote (3ª edición).

En las páginas 26-27 definen un grupo diedro:

D2n=r,s|rn=s2=1,rs=sr1

Los autores describen un grupo (las rotaciones de un n-gon regular, donde r es 2Πn rotación y s es un flip) que satisface esta representación.

Entonces afirman que, basándose en la existencia de tal grupo, cualquier grupo con tal representación debe tener un orden de al menos 2n . ¿Por qué es así? ¿Hay algún teorema del que se derive la afirmación?

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ahulpke Puntos 2612

Si toma G2n como el subgrupo de las transformaciones ortogonales (rotaciones, volteos, etc.), no es difícil ver que este grupo tiene efectivamente 2n elementos, y que es una imagen homomórfica de D2n . (Teniendo en cuenta en qué punto del libro está la observación, este argumento de la imagen homomórfica no es del todo kosher). Así, el orden de D2n debe ser al menos igual al orden de G2n .

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