Sobre la suma de funciones aritméticas $\mu(n) / \phi(n)$ y $\mu(n) \log(n) / \phi(n)$ .

Question

En Teoría de los números multiplicativos : Teoría clásica (Montgomery, Vaughan) pp.185, hay un ejercicio relativo a las sumas a continuación.

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{\phi(n)} = 0 $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)\log(n)}{\phi(n)} = 0$$

Dicen que estas fórmulas se pueden demostrar por el mismo método que demostraron la PNT.

Creo que puedo obtener algún límite asintótico para $$ \sum_{n \le x}\frac{\mu(n)}{\phi(n)} $$ $$ \sum_{n \le x}\frac{\mu(n)\log(n)}{\phi(n)} .$$

si sigo la solución de este ejercicio.

Tengo curiosidad por los límites asintóticos anteriores.

En realidad los autores citados Hardy, G. H. (1921). Note on Ramanujan's trigonometrical function c_q(n), and certain series de funciones aritméticas, Proc. Cambridge Philos. Soc. 20, 263-271 , pero no se puede encontrar en Internet.

Answer 1

Soy un principiante en esta rama de las matemáticas, así que no duden en corregir cualquier error.

Tenemos $$\begin{align}\sum_{n\le x}\frac{\mu(n)}{\phi(n)}&=\sum_{n\le x}\left(\mu(n)\sum_{d\mid n}\frac1{\mu(d)}\frac dn\right)=\sum_{n\le x}\sum_{d\mid n}\frac{d\mu(n)}{n\mu(d)}\\&=\sum_{d\le x}\sum_{q\le x/d}\frac{\mu(q)}q=\mathcal{O}\left(\sum_{d\le x}\sum_{q\le x/d}\frac1q\right)\\&=\mathcal{O}\left(\sum_{d\le x}\log\frac xd+C+\mathcal{O}\left(\frac dx\right)\right)\\&=\mathcal{O}\left(\sum_{d\le x}\log\frac xd\right)\\&=\mathcal{O}\left(\log x\right)\end{align}$$