Encuentre $\epsilon(n)$ tal que $\sum\frac{1}{n^{1+\epsilon(n)}}$ converge

Question

Sabemos que el $p$ -serie $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$$ converge si $p>1$ y diverge si $p\leq 1$ . Ahora me dieron este problema aparentemente imposible:

Encontrar la secuencia positiva $\epsilon(n)$ que converge monotónicamente a $0$ tal que $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1+\epsilon(n)}}$$ converge. Básicamente, necesitamos algo que converja a $0$ realmente muy lento, por lo que $1+\epsilon(n)$ puede hacer converger la serie y me quedé sin ideas después de intentar $\epsilon(n)=1/n^a,\epsilon(n)=1/\ln(n)$ o $\epsilon(n)=\pi/2-\arctan(n)$ . ¿Alguien puede dar algunas ideas?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^a(n)}$ es convergente para $a>1$ y $$\frac{1}{n\ln^a(n)}=\frac{1}{ne^{a\ln(\ln(n))}}=\frac{1}{n^{1+a\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}}}.$$

Answer 2

Por la prueba de condensación de Cauchy se obtiene la serie condensada

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{2^{n+n\epsilon(2^n)}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n\epsilon(2n)}}$$

entonces necesitamos $n\epsilon(2^n) \to \infty$ y por tanto buscamos una secuencia monótona

$$\epsilon(n)=\frac{\delta(n)}{\log n}\to 0$$

tal que $\delta(2^n)\to \infty$ como por ejemplo

• $\delta(n)=\ln \ln n$
• $\delta(n)=\ln^p n \quad 0<p<1$