Ángulo de intersección entre dos planos visto desde un tercer plano oblicuo de intersección

Question

Dos planos, $P_1$ y $P_2$ se cruzan en una línea. Me interesa el ángulo $\alpha$ entre ellos medidos desde un tercer plano de intersección mutua $P_{int}$ .

Las intersecciones de $P_{int}$ con $P_1$ y $P_2$ puede visualizarse en $P_{int}$ como dos líneas que se encuentran en un punto común $v$ . El ángulo que forman estas dos líneas en este vértice $v$ es lo que yo llamo $\alpha$ .

Supongo que $\alpha$ es igual al ángulo diedro de $P_1$ y $P_2$ sólo cuando $P_{int}$ es ortogonal a los dos planos.

Supongamos ahora que $v$ es fijo y giro $P_{int}$ por un ángulo $\beta$ (con la vertical) para hacerlo oblicuo. Entonces el ángulo medido entre dos líneas de intersección en $P_{int}$ será diferente del ángulo diedro real.

Mi pregunta es cómo puedo relacionar los dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ ? Gracias.

Answer 1

Un ángulo no es suficiente: se necesitan dos ángulos (por ejemplo $\beta$ y $\gamma$ en el diagrama de abajo) para encontrar el ángulo $\alpha$ formado por el plano $OCD$ con aviones $OAD$ y $OBC$ . Si $OA=OB=1$ entonces por la regla del coseno $AB^2=2(1-\cos\theta)$ , donde $\theta=\angle AOB$ es el ángulo diedro. Si $AD$ y $BC$ son paralelas a la arista diédrica también tenemos: $OD=1/\cos\beta$ , $OC=1/\cos\gamma$ De ahí que $$ CD^2={1\over\cos^2\beta}+{1\over\cos^2\gamma}-{2\cos\alpha\over\cos\beta\cos\gamma}. $$ Por otro lado, en el trapecio $ABCD$ tenemos $AD=\tan\beta$ y $BC=\tan\gamma$ , por lo que podemos calcular por el teorema de Pitágoras: $$ CD^2=AB^2+(BC-AD)^2= 2(1-\cos\theta)+(\tan\beta-\tan\gamma)^2. $$ Igualando estas dos expresiones para $CD^2$ obtenemos así $$ \cos\alpha=\sin\beta\sin\gamma+\cos\beta\cos\gamma\cos\theta. $$