Si $a$ es un número entero, entonces $a 3 \pmod 7$ si y sólo si $(a^2 + 5a) 3 \pmod 7$ . Cómo podría demostrar esto, o qué tipo de método de prueba debería utilizar para demostrarlo. Sé que no puedo usar la directa y no puedo usar la contradicción.
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JMoravitz
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$\Rightarrow)$ Si $a\equiv 3 \pmod 7$ entonces en la expresión $a^2+5a(\text{mod}7)$ puede simplemente reemplazar $a$ con $3$ .
Sí, es cierto, $3^2+5\cdot 3\equiv 9+15\equiv 24\equiv 3\pmod 7$
$\Leftarrow)$ Si no hay opciones convenientes, siempre se puede probar por fuerza bruta. En este caso podríamos intentar acercarnos a través de la contrapositiva.
La implicación contrapositiva es "Si $a\not\equiv 3\pmod 7$ entonces $a^2+5a\not\equiv 3\pmod 7$ "
Hay seis casos que comprobar, y todos relativamente rápidos. Por ejemplo, para $a\equiv 0\pmod7$ tienes $a^2+5a\equiv 0^2+5\cdot 0\equiv 0\not\equiv 3\pmod7$
Oli
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El número $7$ es tan pequeño que "probar todo" es probablemente la mejor estrategia.
Para este tipo de problemas (y módulos más grandes) me gusta completando el cuadrado. Tenga en cuenta que $5\equiv -2\pmod{7}$ . Así que $$a^2+5a\equiv a^2-2a\equiv (a-1)^2-1\pmod{7}.$$ De ello se desprende que $a^2+5a\equiv 3\pmod{7}$ si y sólo si $(a-1)^2\equiv 4\pmod{7}$ .
Pero esta congruencia se mantiene si y sólo si $a-1\equiv \pm 2\pmod{7}$ . Eso nos da las soluciones $a\equiv 3\pmod{7}$ y $a\equiv -1\pmod{7}$ .
Una estrategia similar es útil para la congruencia $a^2+5a\equiv c\pmod{p}$ , donde $p$ es un primo de impar.
