Ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ con soluciones enteras infinitas $(x,y)$

Question

Una ecuación $P(x)=Q(y)$ se llama Interesante si $P$ y $Q$ son polinomios con grado al menos uno y coeficientes enteros y la ecuación tiene un número infinito de respuestas en $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ .

Una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ rendimientos en interesante ecuación $F(x)=G(y)$ si existe un polinomio $R(x) \in \mathbb{Q} [x]$ tal que $F(x) \equiv R(P(x))$ y $G(x) \equiv R(Q(x))$ .

a. Supongamos que $S$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ . $S$ es un respuesta de la ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ si cada elemento de $S$ es una respuesta de esta ecuación. Demostrar que para cada $S$ hay una ecuación interesante $P_0(x)=Q_0(y)$ tal que si existe cualquier ecuación interesante que $S$ es una respuesta de la misma, $P_0(x)=Q_0(y)$ se produce en ese ecuación.

b. Definir el grado de una interesante ecuación $P(x)=Q(y)$ por $max\{deg(P),deg(Q)\}$ . Una ecuación interesante es la denominada principal si no hay ninguna otra ecuación interesante de menor grado que ceda en ella. Demostrar que si $P(x)=Q(y)$ es una ecuación primaria interesante y $P$ y $Q$ son mónicas entonces $gcd(deg(P),deg(Q))=1$ .

Los dos problemas tienen su origen en la Olimpiada de Matemáticas de Irán de 2013, tercera ronda. No he sido capaz de resolver ninguno de los problemas, y no puedo encontrar las soluciones en otro lugar.

Este es mi boceto actual para el problema a. :

Paso 1: Supongamos que $S$ es una respuesta de infinitas ecuaciones interesantes, incluyendo las dos ecuaciones interesantes $P(x)=Q(y)$ y $F(x)=G(y)$ .

Lemma 1.1: Sin pérdida de generalidad, supongamos que los coeficientes principales de $P$ y $F$ son enteros positivos. Entonces los coeficientes principales de $Q$ y $G$ también deben ser enteros positivos.

• Si no, entonces $\lim Q(y) = - \infty$ , $\lim P(x) = + \infty$ por lo que la ecuación tiene un número finito de respuestas en $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ una contradicción.

Lema 1.2: Sin pérdida de generalidad, supongamos que $deg(P) \leq deg(Q)$ . Entonces $deg(F)$ debe ser menor o igual a $deg(G)$ .

• Desde $deg(P) \leq deg(Q)$ Hay infinitas respuestas $(x, y)$ en $S$ , de tal manera que $x < y$ . Por lo tanto, ya que $F(x)=G(y)$ tiene infinitas soluciones $(x, y)$ en $S$ , $deg(F)$ debe ser menor o igual a $deg(G)$

Lemma 1.3: Sin pérdida de generalidad, supongamos que $deg(P) \leq deg(Q)$ y $deg(P) \leq deg(F)$ . Entonces $deg(P) < deg(F)$ si y sólo si $deg(Q) < deg(G)$ . Además $deg(P) = deg(F)$ si y sólo si $deg(Q) = deg(G)$ .

• Consideremos el caso en el que $deg(P) < deg(F)$ .

• Si $deg(Q) > deg(G) \geq deg(F) > deg(P)$ entonces el coeficiente principal de $F-P$ es positivo, mientras que el coeficiente principal de $G-Q$ es negativo. Esto contradice Lema 1.1 (Tenga en cuenta que $S$ es también una respuesta de la interesante ecuación $F(x)-P(x)=G(y)-Q(y)$ ).

• Si $deg(Q) = deg(G)$ entonces el coeficiente principal de $F-aP$ es positivo, mientras que el coeficiente principal de $G-aQ$ es negativo ( $a$ es el número entero positivo tal que el coeficiente principal de $aQ$ es mayor que $G$ 's). Esto también contradice Lema 1.1 (Tenga en cuenta que $S$ es una respuesta de la interesante ecuación $F(x)-aP(x)=G(y)-aQ(y)$ ).

• Por lo tanto, $deg(P) < deg(F)$ si y sólo si $deg(Q) < deg(G)$ .

• Con argumentos similares a los anteriores, se puede demostrar que $deg(P) = deg(F)$ si y sólo si $deg(Q) = deg(G)$ .

Lemma 1.4: $\frac{deg(P)}{deg(Q)}=\frac{deg(F)}{deg(G)}$ independientemente de que $deg(P)$ es menor que $deg(Q)$ , $deg(F)$ o no.

• Tenga en cuenta que $S$ es la respuesta de las interesantes ecuaciones $P^{deg(F)}(x)=Q^{deg(F)}(y)$ y $F^{deg(P)}(x)=G^{deg(P)}(y)$ .
• Así, según Lema 1.3 , $deg(Q^{deg(F)}) = deg(G^{deg(P)})$ En otras palabras, $deg(Q) \times deg(F) = deg(P) \times deg(G)$ o $\frac{deg(P)}{deg(Q)}=\frac{deg(F)}{deg(G)}$ .

Paso 2: Lema 2: Supongamos que $P(x)=Q(y)$ es la ecuación con el menor grado, de todas las ecuaciones de las que $S$ es la respuesta. Entonces $deg(P)|deg(F)$ y $deg(Q)|deg(G)$

• No fui capaz de probar Lema 2 . Pero si el problema b. está probado, entonces Lema 2 podría probarse con técnicas similares.

Paso 3: Lema 3: Si $deg(P)|deg(F)$ y $deg(Q)|deg(G)$ entonces $P(x)=Q(y)$ produce en la ecuación $F(x)=G(y)$ (Con definición de $P,Q,F,G$ similar a Paso 1 y 2 ).

• Dejemos que $k = \frac{deg(F)}{deg(P)} = \frac{deg(G)}{deg(Q)}$ . Sea $p,q,f,g$ sea el coeficiente principal de $P,Q,F,G$ respectivamente, y sin pérdida de generalidad supongamos que $gcd(p,q)=gcd(f,g)=1$ . Se puede ver que ${f} \times P^k(x)={f}\times Q^k(y)$ y ${p^k} \times F(x)={p^k}\times G(y)$ son ecuaciones interesantes, y según Lema 1.3 se puede demostrar que $f = p^k, g = q^k$ . Por lo tanto, $$U(x) = {f} \times P^k(x) - {p^k} \times F(x) = {f}\times Q^k(y) - {p^k}\times G(y) = V(y)$$ es una ecuación interesante, con $deg(U) < deg(F)$ y $deg(V) < deg(G)$ . Desde Lema 2 se puede ver que $deg(P)|deg(U)$ y $deg(Q)|deg(V)$ .

• Continuando con el proceso similar al anterior cambiando $F$ con $U$ , $G$ con $V$ con el hecho de que $S$ es también la respuesta de $U(x)=V(y)$ se puede conseguir que $P(x)=Q(y)$ rendimientos en $F(x)=G(y)$ y el problema a. se resuelve.

Para terminar, estas son mis preguntas:

¿Cómo puedo resolver los dos problemas originales?

¿Puedo resolverlos con mis ideas anteriores?

Si se ha publicado una solución o la pregunta, por favor, hágamelo saber.

Se agradecerá cualquier sugerencia, respuesta, comentario o edición.

Answer 1

Esta es una solución completa para un.

Dejemos que $S$ sea un subconjunto infinito de $\mathbb{N}^2$ y $P(x)=Q(y)$ sea una ecuación interesante para la que $S$ es una respuesta.

Escribe $S=\{(x_i,y_i)|i \geq 1\}$ cualquier enumeración.

Así que tenemos $P(x_i)=Q(y_i)$ . Supongamos que $y_{\varphi(i)}$ es constante: entonces $P(x_{\varphi(i)})$ es constante, así que como $x_{\varphi(i)}$ es inyectiva, $P$ es constante, una contradicción.

Así que (de forma similar) $x_i$ y $y_i$ ambos van al infinito.

Dejemos entonces que $p$ sea el grado de $P$ ( $\alpha$ el coeficiente dominante), $q$ sea el grado de $Q$ ( $\beta$ el coeficiente dominante), entonces $\frac{P(x_i)}{\alpha x_i^p}$ y $\frac{Q(y_i)}{\beta y_i^q}$ ir a $1$ como $i$ va al infinito.

Por lo tanto, $\frac{\alpha}{\beta}\frac{x_i^p}{y_i^q}$ va a $1$ como $i$ va al infinito.

Esto demuestra que $\alpha$ y $\beta$ tienen el mismo signo, y que $p/q$ , $(|\alpha|/|\beta|)^{1/q}$ tienen que ser constantes (digamos, $r$ y $\delta$ ), dependiendo únicamente de $S$ (y más precisamente en cualquier subconjunto infinito de $S$ )

Supongamos ahora que $P(x)=Q(y)$ es una ecuación interesante con respuesta cualquier subconjunto cofinito de $S$ tal que el grado de $Q$ es mínima.

Dejemos que $P_1(x)=Q_1(y)$ sea una ecuación interesante cuya respuesta sea un subconjunto cofinito de $S$ tal que $P(x)=Q(y)$ no cede ante ella, de manera que $Q_1$ tiene un grado mínimo (y entre estos, tal que $|\alpha|+|\beta|$ es mínimo).

Si $Q_1$ y $Q$ tienen el mismo grado, entonces también $P_1$ y $P$ y por lo anterior (con las mismas anotaciones) $(\alpha_1,\beta_1)$ y $(\alpha,\beta)$ son proporcionales: dejemos que $c,c_1$ sean números enteros no nulos tales que $c_1\alpha_1=c\alpha$ (lo mismo para $\beta$ ).

Entonces $(cP-c_1P_1,cQ-c_1Q_1)$ tiene un subconjunto cofinito de $S$ como respuesta, y un grado menor, por lo que no puede ser interesante y por lo tanto los polinomios son constantes, por lo que $(P,Q)$ rendimientos en $(P_1,Q_1)$ una contradicción.

Así que $Q_1$ tiene un grado mayor que $Q$ . Escribamos las divisiones euclidianas en $\mathbb{Q}[X]$ , $P_1=A_1P+A_2$ , $Q_1=B_1Q+B_2$ . Hasta la multiplicación por una constante entera, podemos suponer que todos los polinomios tienen coeficientes enteros.

Así que tenemos en un subconjunto cofinito de $S$ , $(A_1(x_i)-B_1(y_i))P(x_i)=A_2(x_i)-B_2(y_i)$ .

Desde $A_2,B_2$ tienen grados más bajos que $P,Q$ , $A_2(x_i)$ y $B_2(y_i)$ son insignificantes antes de $P(x_i)=Q(y_i)$ . Así que su diferencia es insignificante antes de $(A_1(x_i)-B_1(y_i))P(x_i)$ (en el subconjunto de $i$ tal que $A_1(x_i) \neq B_1(y_i)$ ).

Como conclusión, en un subconjunto cofinito de $S$ , $A_1(x_i)=B_1(y_i)$ y por lo tanto $A_2(x_i)=B_2(y_i)$ . Por la minimidad de $P,Q$ , $A_2$ y $B_2$ son constantes, y $A_1,B_1$ (por la minalidad de $P_1,Q_1$ ) se obtienen en $P,Q$ . Obtenemos una contradicción.