Una ecuación $P(x)=Q(y)$ se llama Interesante si $P$ y $Q$ son polinomios con grado al menos uno y coeficientes enteros y la ecuación tiene un número infinito de respuestas en $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ .
Una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ rendimientos en interesante ecuación $F(x)=G(y)$ si existe un polinomio $R(x) \in \mathbb{Q} [x]$ tal que $F(x) \equiv R(P(x))$ y $G(x) \equiv R(Q(x))$ .
a. Supongamos que $S$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ . $S$ es un respuesta de la ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ si cada elemento de $S$ es una respuesta de esta ecuación. Demostrar que para cada $S$ hay una ecuación interesante $P_0(x)=Q_0(y)$ tal que si existe cualquier ecuación interesante que $S$ es una respuesta de la misma, $P_0(x)=Q_0(y)$ se produce en ese ecuación.
b. Definir el grado de una interesante ecuación $P(x)=Q(y)$ por $max\{deg(P),deg(Q)\}$ . Una ecuación interesante es la denominada principal si no hay ninguna otra ecuación interesante de menor grado que ceda en ella. Demostrar que si $P(x)=Q(y)$ es una ecuación primaria interesante y $P$ y $Q$ son mónicas entonces $gcd(deg(P),deg(Q))=1$ .
Los dos problemas tienen su origen en la Olimpiada de Matemáticas de Irán de 2013, tercera ronda. No he sido capaz de resolver ninguno de los problemas, y no puedo encontrar las soluciones en otro lugar.
Este es mi boceto actual para el problema a. :
Paso 1: Supongamos que $S$ es una respuesta de infinitas ecuaciones interesantes, incluyendo las dos ecuaciones interesantes $P(x)=Q(y)$ y $F(x)=G(y)$ .
Lemma 1.1: Sin pérdida de generalidad, supongamos que los coeficientes principales de $P$ y $F$ son enteros positivos. Entonces los coeficientes principales de $Q$ y $G$ también deben ser enteros positivos.
- Si no, entonces $\lim Q(y) = - \infty$ , $\lim P(x) = + \infty$ por lo que la ecuación tiene un número finito de respuestas en $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ una contradicción.
Lema 1.2: Sin pérdida de generalidad, supongamos que $deg(P) \leq deg(Q)$ . Entonces $deg(F)$ debe ser menor o igual a $deg(G)$ .
- Desde $deg(P) \leq deg(Q)$ Hay infinitas respuestas $(x, y)$ en $S$ , de tal manera que $x < y$ . Por lo tanto, ya que $F(x)=G(y)$ tiene infinitas soluciones $(x, y)$ en $S$ , $deg(F)$ debe ser menor o igual a $deg(G)$
Lemma 1.3: Sin pérdida de generalidad, supongamos que $deg(P) \leq deg(Q)$ y $deg(P) \leq deg(F)$ . Entonces $deg(P) < deg(F)$ si y sólo si $deg(Q) < deg(G)$ . Además $deg(P) = deg(F)$ si y sólo si $deg(Q) = deg(G)$ .
-
Consideremos el caso en el que $deg(P) < deg(F)$ .
-
Si $deg(Q) > deg(G) \geq deg(F) > deg(P)$ entonces el coeficiente principal de $F-P$ es positivo, mientras que el coeficiente principal de $G-Q$ es negativo. Esto contradice Lema 1.1 (Tenga en cuenta que $S$ es también una respuesta de la interesante ecuación $F(x)-P(x)=G(y)-Q(y)$ ).
-
Si $deg(Q) = deg(G)$ entonces el coeficiente principal de $F-aP$ es positivo, mientras que el coeficiente principal de $G-aQ$ es negativo ( $a$ es el número entero positivo tal que el coeficiente principal de $aQ$ es mayor que $G$ 's). Esto también contradice Lema 1.1 (Tenga en cuenta que $S$ es una respuesta de la interesante ecuación $F(x)-aP(x)=G(y)-aQ(y)$ ).
-
Por lo tanto, $deg(P) < deg(F)$ si y sólo si $deg(Q) < deg(G)$ .
-
Con argumentos similares a los anteriores, se puede demostrar que $deg(P) = deg(F)$ si y sólo si $deg(Q) = deg(G)$ .
Lemma 1.4: $\frac{deg(P)}{deg(Q)}=\frac{deg(F)}{deg(G)}$ independientemente de que $deg(P)$ es menor que $deg(Q)$ , $deg(F)$ o no.
- Tenga en cuenta que $S$ es la respuesta de las interesantes ecuaciones $P^{deg(F)}(x)=Q^{deg(F)}(y)$ y $F^{deg(P)}(x)=G^{deg(P)}(y)$ .
- Así, según Lema 1.3 , $deg(Q^{deg(F)}) = deg(G^{deg(P)})$ En otras palabras, $deg(Q) \times deg(F) = deg(P) \times deg(G)$ o $\frac{deg(P)}{deg(Q)}=\frac{deg(F)}{deg(G)}$ .
Paso 2: Lema 2: Supongamos que $P(x)=Q(y)$ es la ecuación con el menor grado, de todas las ecuaciones de las que $S$ es la respuesta. Entonces $deg(P)|deg(F)$ y $deg(Q)|deg(G)$
- No fui capaz de probar Lema 2 . Pero si el problema b. está probado, entonces Lema 2 podría probarse con técnicas similares.
Paso 3: Lema 3: Si $deg(P)|deg(F)$ y $deg(Q)|deg(G)$ entonces $P(x)=Q(y)$ produce en la ecuación $F(x)=G(y)$ (Con definición de $P,Q,F,G$ similar a Paso 1 y 2 ).
-
Dejemos que $k = \frac{deg(F)}{deg(P)} = \frac{deg(G)}{deg(Q)} $ . Sea $p,q,f,g$ sea el coeficiente principal de $P,Q,F,G$ respectivamente, y sin pérdida de generalidad supongamos que $gcd(p,q)=gcd(f,g)=1$ . Se puede ver que ${f} \times P^k(x)={f}\times Q^k(y)$ y ${p^k} \times F(x)={p^k}\times G(y)$ son ecuaciones interesantes, y según Lema 1.3 se puede demostrar que $f = p^k, g = q^k$ . Por lo tanto, $$U(x) = {f} \times P^k(x) - {p^k} \times F(x) = {f}\times Q^k(y) - {p^k}\times G(y) = V(y)$$ es una ecuación interesante, con $deg(U) < deg(F)$ y $deg(V) < deg(G)$ . Desde Lema 2 se puede ver que $deg(P)|deg(U)$ y $deg(Q)|deg(V)$ .
-
Continuando con el proceso similar al anterior cambiando $F$ con $U$ , $G$ con $V$ con el hecho de que $S$ es también la respuesta de $U(x)=V(y)$ se puede conseguir que $P(x)=Q(y)$ rendimientos en $F(x)=G(y)$ y el problema a. se resuelve.
Para terminar, estas son mis preguntas:
¿Cómo puedo resolver los dos problemas originales?
¿Puedo resolverlos con mis ideas anteriores?
Si se ha publicado una solución o la pregunta, por favor, hágamelo saber.
Se agradecerá cualquier sugerencia, respuesta, comentario o edición.
