Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad y sea $M$ sea un módulo R noetheriano finitamente generado. ¿Puede alguien decirme cómo el isomorfismo $$ Hom_R(R\oplus R, M)\simeq Hom_R(R,M)\oplus Hom_R(R,M)\simeq M\oplus M $$ ¿se da? Sé cómo se da el segundo isomorfismo pero no sé el primero. ¿Dónde se envía un mapa $R\oplus R\to M$ ¿a?
Respuestas
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La otra respuesta es buena, pero sólo si te sientes cómodo con el lenguaje de las categorías y las propiedades universales. Más concretamente, si tenemos un homomorfismo
$$\phi:R\oplus R\to M,$$
obtenemos dos homomorfismos $\phi_1,\phi_2:R\to M$ definiendo
$$\phi_1(r)=\phi(r,0),\quad\quad\phi_2(r)=\phi(0,r).$$
Puede comprobar este envío $\phi\mapsto(\phi_1,\phi_2)$ da un isomorfismo $$\hom(R\oplus R,M)\cong\hom(R,M)\oplus\hom(R,M).$$
Hurkyl
Puntos
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La propiedad universal del biproducto es precisamente la existencia del primer isomorfismo (suponiendo que sea natural en $M$ ).
En general, el coproducto de $X \amalg Y$ de dos objetos en cualquier categoría es el objeto que satisface un isomorfismo natural en $Z$ : $$ \hom(X \amalg Y, Z) \cong \hom(X, Z) \times \hom(Y, Z) $$ En el caso de $R$ -los productos y coproductos finitos vienen dados por el biproducto, es decir $X \amalg Y \cong X \oplus Y$ y $M \times N \cong M \oplus N$ .
La proyección $$ \hom(X \amalg Y, Z) \to \hom(X, Z) $$ es precisamente el mapa inducido por la inserción $i_1 : X \to X \amalg Y$ . Es decir, envía una función $g : X \amalg Y \to Z$ a la función $g \circ i_1 : X \to Z$ .
Lo mismo ocurre con la otra proyección. El isomorfismo de la propiedad natural es el mapa $g \mapsto (g \circ i_1, g \circ i_2)$ .
