Suma directa y Hom

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad y sea $M$ sea un módulo R noetheriano finitamente generado. ¿Puede alguien decirme cómo el isomorfismo $$Hom_R(R\oplus R, M)\simeq Hom_R(R,M)\oplus Hom_R(R,M)\simeq M\oplus M$$ ¿se da? Sé cómo se da el segundo isomorfismo pero no sé el primero. ¿Dónde se envía un mapa $R\oplus R\to M$ ¿a?

Answer 1

La otra respuesta es buena, pero sólo si te sientes cómodo con el lenguaje de las categorías y las propiedades universales. Más concretamente, si tenemos un homomorfismo

$$\phi:R\oplus R\to M,$$

obtenemos dos homomorfismos $\phi_1,\phi_2:R\to M$ definiendo

$$\phi_1(r)=\phi(r,0),\quad\quad\phi_2(r)=\phi(0,r).$$

Puede comprobar este envío $\phi\mapsto(\phi_1,\phi_2)$ da un isomorfismo $$\hom(R\oplus R,M)\cong\hom(R,M)\oplus\hom(R,M).$$

Answer 2

La propiedad universal del biproducto es precisamente la existencia del primer isomorfismo (suponiendo que sea natural en $M$ ).

En general, el coproducto de $X \amalg Y$ de dos objetos en cualquier categoría es el objeto que satisface un isomorfismo natural en $Z$ : $$\hom(X \amalg Y, Z) \cong \hom(X, Z) \times \hom(Y, Z)$$ En el caso de $R$ -los productos y coproductos finitos vienen dados por el biproducto, es decir $X \amalg Y \cong X \oplus Y$ y $M \times N \cong M \oplus N$ .

La proyección $$\hom(X \amalg Y, Z) \to \hom(X, Z)$$ es precisamente el mapa inducido por la inserción $i_1 : X \to X \amalg Y$ . Es decir, envía una función $g : X \amalg Y \to Z$ a la función $g \circ i_1 : X \to Z$ .

Lo mismo ocurre con la otra proyección. El isomorfismo de la propiedad natural es el mapa $g \mapsto (g \circ i_1, g \circ i_2)$ .