Hallazgo de la función de densidad de probabilidad: punto en la superficie de un disco

Question

Estoy empezando a estudiar estadística de variables aleatorias continuas y estoy teniendo problemas para resolver ejercicios, por lo que necesito ayuda. No sé cómo aplicar las definiciones en este caso. (Además, no soy un hablante nativo de inglés, así que por favor corrijan o ignoren los errores gramaticales si ven alguno).

Un disco de radio R tiene un punto en algún lugar de su superficie, siendo la probabilidad de encontrar el punto la misma en cualquier lugar de la superficie del disco. Si llamamos X a la distancia desde el centro del disco a ese punto, encuentra la expresión de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X.

Gracias de antemano. Preferiría que alguien me diera las pautas en lugar de las respuestas reales para ver si puedo resolverlo yo mismo.

Editar : Mi razonamiento inicial fue el siguiente:

La probabilidad de encontrar el punto depende de la distancia a la que te encuentres del centro (porque cuanto más lejos estés, mayor será el área que hayas cubierto), por lo que la función de distribución sería $P(X)=\frac{\pi X^2}{\pi R^2}=\frac{X^2}{R^2}$ (de modo que cuando se encuentra en el borde del disco la probabilidad de que el punto esté contenido en esa zona es 1). Pero no tengo ni idea de si esto tiene algún sentido.

Answer 1

Una forma de empezar sería escribir la probabilidad de que la distancia del punto al centro sea menor o igual a $x$

$$P(X\leq x) = ...$$

Esta será la fdc de $X$ . Se puede escribir mediante un razonamiento geométrico básico.

A continuación, se puede obtener la densidad a partir de la fdc.

Answer 2

Empezar con el cdf $F_X(x) = P(X \le x)$

Obviamente

1. $P(X \le x) = 0$ si $x \le 0$
2. $P(X \le x) = 1$ si $x \ge R$

Ahora para

• $P(X \le x)$ si $0 < x < R$

queremos encontrar la probabilidad de que el punto acabe en algún lugar del círculo exterior con radio de $x$ con un círculo interior de radio cero.

Sean las coordenadas polares del punto $(R,\Theta)$ (capital ya que las coordenadas son aleatorias). Entonces tenemos

$$P(X \le x) = \frac{\int_0^{2 \pi} \int_0^x 1_{(r,\theta) \in D} \cdot r dr d\theta}{\int_0^{2 \pi} \int_0^R 1_{(r,\theta) \in D} \cdot r dr d\theta} = \frac{\pi x^2}{\pi R^2} \tag{*}$$

• donde $D = \{(a,b) | d((a,b),C) < R\}$

• donde $C$ es el centro del disco.

• (¿Por qué tenemos $1_{(r,\theta) \in D}$ ?)

Así, $f_X(x) = F_X'(x) = 2 \pi x$

Observaciones:

1. cdf de X es el área del círculo cuyo radio es X, que es la distancia entre el punto y el centro del disco, y es concéntrico con el disco
2. el pdf de X es la circunferencia del mencionado círculo
3. Las coordenadas del punto se distribuyen aleatoriamente según el pdf $f_{(R,\Theta)}(r,\theta) = 1_{(r,\theta) \in D}$
4. El área de un círculo es algo así como la suma de las circunferencias de todos los círculos más pequeños que él pero que son concéntricos con él. Recordemos que esta es la idea de la integración (y por supuesto para la diferenciación y similares): suma de infinitos rectángulos con longitud infinitesimal o algo así.
5. La fórmula $(*)$ en realidad se aplica a cualquier valor de $x$ . Por ejemplo, si $x = R+1$ entonces tenemos

$$P(X \le R+1) = \frac{\int_0^{2 \pi} \int_0^{R+1} 1_{(r,\theta) \in D} \cdot r dr d\theta}{\int_0^{2 \pi} \int_0^R 1_{(r,\theta) \in D} \cdot r dr d\theta}$$

$$=\frac{\int_0^{2 \pi} \int_0^{R} 1_{(r,\theta) \in D} \cdot r dr d\theta + \int_0^{2 \pi} \int_R^{R+1} 1_{(r,\theta) \in D} \cdot r dr d\theta}{\int_0^{2 \pi} \int_0^R 1_{(r,\theta) \in D} \cdot r dr d\theta}$$

$$=\frac{\int_0^{2 \pi} \int_0^{R} 1_{(r,\theta) \in D} \cdot r dr d\theta + 0}{\int_0^{2 \pi} \int_0^R 1_{(r,\theta) \in D} \cdot r dr d\theta} = \frac{\pi R^2}{\pi R^2} = 1$$