Construcción de secuencias no-Cauchy en un espacio de dimensión infinita

Question

Una prueba con la que me tropecé utiliza que

En un espacio de dimensiones infinitas podemos encontrar una secuencia $(x_n)_{n\geq 1}$ tal que $\Vert x_n\Vert \leq 1$ y $\Vert x_n-x_m\Vert\geq 1/2$ para todos $n\neq m$ .

Soy nuevo en los espacios de dimensión infinita. ¿Podría alguien explicar por qué esto es cierto?

Answer 1

Es un corolario de un conocido lema de Riesz:

Lema (Riesz). Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial normado, $U \subsetneq X$ un subespacio cerrado adecuado, y $\delta > 0$ . Luego está $x \in X$ avec $\def\norm#1{\left\|#1\right\|}\norm{x} = 1$ tal que $$ \inf_{u \in U} \norm{x-u} > 1- \delta. $$

Para su declaración deje $\delta = \frac 12$ . Por inducción se define una secuencia $(x_n)$ . Elija $x_1$ avec $\|x_1\| = 1$ arbitraria. Si $x_i$ para $i< n$ son elegidos, dejemos que $U_n := \mathop{\rm span}\{x_i: i < n\}$ . Entonces $U_n$ es de dimensión finita, por lo que es un subespacio cerrado propio del espacio de dimensión infinita $X$ . Según Riesz, hay $x_n \in X$ avec $\norm{x_n} = 1$ et $$ \inf_{u \in U_n} \norm{x_n-u} > \frac 12. $$ Como $x_i \in U_n$ para $i < n$ tenemos $$ \norm{x_i -x_n} > \frac 12, \qquad i < n $$

Answer 2

Consideremos, por ejemplo, el espacio $\ell_\infty$ de todas las secuencias complejas acotadas, dotadas de la norma definida por :

$$\Vert u\Vert_\infty=\sup_{n\in\mathbb{N}}\vert u_n\vert$$

Si $u^{(r)}$ denota la secuencia $(\delta_{n,r})_{n\in\mathbb{N}}$ (donde $\delta_{i,j}$ es el símbolo de Kronecker), podemos ver fácilmente que :

$\forall (p,q)\in\mathbb{N}^2,\,p\neq q\Rightarrow\Vert u^{(p)}-u^{(q)}\Vert_\infty=1$

Este ejemplo debería ayudar a entender el caso general ...