Un método más mecánico que se puede utilizar cuando no se ve ninguna forma "hábil" de aprovechar la estructura de la función objetivo...
En primer lugar, buscamos los puntos críticos en $(1,2)\times(3,4)$ . Sin embargo, $\frac{\partial}{\partial x} \frac{y-x}{xy} = \frac{-1}{x^2} \neq 0$ , $\frac{\partial}{\partial y} \frac{y-x}{xy} = \frac{1}{y^2} \neq 0$ por lo que no hay extremos locales en $(1,2)\times(3,4)$ . En consecuencia, todos los extremos están en el límite de esa región. Obsérvese que la función objetivo es continua en $x$ y $y$ (lejos de los puntos con $x = 0$ o $y = 0$ en el que la función objetivo es indefinida), por lo que podemos extenderlo a la frontera y buscar que los extremos en la frontera sean extremos no alcanzados para la función objetivo.
(Obsérvese que no tenemos que calcular las siguientes derivadas -- ya lo hicimos en la segunda línea del párrafo anterior. Así que en las cuatro componentes de frontera, sabemos que el objetivo es estrictamente monotónico, no dando ningún extremo en los interiores de las componentes de frontera).
Cuando $x = 1$ , $(\mathrm{d}/\mathrm{d}y) \ (y-1)/y = 1/y^2$ por lo que el objetivo es estrictamente creciente de forma monótona en $[3,4]$ . Los candidatos a extremos son $$ \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4} \text{.} $$
Cuando $x = 2$ , $(\mathrm{d}/\mathrm{d}y) \ (y-2)/(2y) = 1/y^2$ por lo que el objetivo es estrictamente creciente en $[3,4]$ . Los candidatos a extremos son $$ \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} \quad \text{and} \quad \frac{4-2}{8} = \frac{1}{4} \text{.} $$
(Las dos comprobaciones siguientes son útiles en el caso general, pero son redundantes aquí. Ya sabemos que no hay extremos en los interiores de las dos siguientes componentes del límite, y ya hemos calculado los valores en los extremos de esas componentes, como veremos).
Cuando $y = 3$ , $(\mathrm{d}/\mathrm{d}x) \ (3-x)/(3x) = -1/x^2$ por lo que el objetivo es estrictamente decreciente en $[1,2]$ . Los candidatos a extremos son $$ \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} \text{.} $$
Cuando $y = 4$ , $(\mathrm{d}/\mathrm{d}x) \ (4-x)/(4x) = -1/x^2$ por lo que el objetivo es estrictamente decreciente en $[1,2]$ . Los candidatos a extremos son $$ \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4} \quad \text{and} \quad \frac{4-2}{8} = \frac{1}{4} \text{.} $$
Así que $1/6$ es un límite inferior no alcanzado y $3/4$ es un límite superior del objetivo no alcanzado. Es decir, $$ \frac{1}{6} < \frac{y-x}{xy} < \frac{3}{4} \text{.} $$
