¿Por qué no hay una regla de la cadena para las integrales de funciones elementales que son expresables en términos de funciones elementales?

Question

La derivada de toda función elemental es elemental; esto se debe a la existencia de la regla de la cadena para la diferenciación.

Por otra parte, la integral de una función elemental puede resultar elemental o no elemental ( $\text{e.g:}\int e^{-x^2}dx$ ). Existe el algoritmo de Risch, que para una integral dada de una función elemental, te dice si la integral es elemental o no, y si es elemental, encuentra la solución.

Sin embargo, creo que sigue siendo válido preguntarse, para las integrales de funciones elementales que son expresables en términos de funciones elementales, ¿por qué no hay una regla de la cadena para ellas?

Answer 1

La diferenciación es una función que satisface la linealidad f(x + y) = f(x) + f(y) y f(ax) = af(x). También satisface la regla f(xy) = f(x)y + xf(y). La integración puede considerarse como la función inversa, al igual que la división puede considerarse como la función inversa a la multiplicación. Sin embargo, al igual que la división tiene sólo algunas de las mismas propiedades algebraicas que la multiplicación, pero no todas, no es conmutativa, ni es cerrada en un conjunto con cero, la integración no tiene todas las propiedades algebraicas de la diferenciación. De hecho la razón es precisamente que la división no tiene todas las propiedades algebraicas de la multiplicación. Digo "precisamente", hacer de esto una prueba lógica rigurosa me temo que está fuera de mi alcance.

Answer 2

Tomemos las funciones elementales definidas por J. Liouville y J. F. Ritt (véase, por ejemplo Wikipedia: Función elemental y sus referencias). Con el teorema de Liouville ( Wikipedia: Teorema de Liouville (álgebra diferencial) ), las funciones elementales no están cerradas en cuanto a la integración.

Una regla de la cadena para la integración tendría la forma $\int f(g(x))dx=F(x)+c$ , donde $F$ estaría en dependencia de $f$ y $g$ . Debido a la conclusión anterior, $F$ es no elemental para ciertos elementales $f$ y $g$ . Por lo tanto, no puede existir una regla en cadena para la integración de todas las funciones elementales.

Pero se conocen reglas en cadena para la integración que son aplicables en algunos casos. Recientemente, estas reglas de la cadena para la integración fueron recogidas en:

Will, J.: Regla del producto, regla del cociente, regla recíproca, regla de la cadena y regla inversa para la integración

Will, J.: Regla del producto, regla del cociente, regla del recíproco, regla de la cadena y regla inversa de la integración. Mayo de 2017