¿Por qué no funciona este método para obtener el volumen de una esfera? ¿Y cómo encontrar el volumen de un casquete esférico?

Question

En lo que respecta a las matemáticas superiores, yo mismo encontré un problema para obtener el volumen de un casquete esférico, ya que estaba haciendo algunos experimentos con el Principio de Arquímedes.

Así que lo que hice fue tomar la masa elemental en términos de ángulo tomando el centro de la esfera como origen.

Así que, veamos lo que hice y lo que obtuve

$$r = R\cos $$ (ángulo vertical-opuesto, ver Z mirando en la figura)

Ahora el volumen de la pequeña masa elemental $$dV = r^2\, dl$$ (donde $dl$ es el espesor) $$dl = R\,d$$ Poniendo todo junto $$dV = (R\cos )^2(R\,d)$$ $$dV = R^3\cos^2\,d$$

Ahora el volumen total de la esfera si quiero calcular para comprobar que esta fórmula funciona correctamente, $$V = \int_{-/2}^{/2} R^3 \cos^2\,d$$ $$V = R^3 \int_{-/2}^{/2} \cos^2\,d$$ $$V = R^3 \int_{-/2}^{/2} \frac{1+\cos2}{2}\,d$$ $$V = R^3 \left[ \frac{}{2} + \frac{\sin 2}{4} \right]_{-/2}^{/2}$$ $$V = \frac{^2R^3}{2}$$

Pero esto contradice el hecho de que el volumen de la esfera es $\frac{4}{3}R^3$

Y de hecho, la superficie de la esfera se elimina de este método para, en su lugar, tomar $r^2\,dl$ utilizamos $2r\,dl$ para obtener el área elemental y luego integrar de 0 a $\frac{}{2}$ y luego el doble. Pero hacer eso no va a ayudar a obtener el volumen de un casquete esférico, así que tomé el volumen elemental.

Qué es lo que se hace mal en este método, cualquier ayuda será apreciada :)

Answer 1

Sí, $r=R \cos \theta$ está bien. Pero también $z=R \sin \theta$ así que $dz=R \cos \theta d \theta.$ Entonces acabas integrando $\pi (R \cos \theta)^2 \cdot (R \cos \theta d \theta)$ es decir $\pi R^3 (\cos \theta)^3,$ y el cubo del coseno se integra en $4/3$ cuando se hace $-\pi/2$ a $\pi/2.$

Answer 2

Tienes un error al determinar el grosor. Observando esta imagen, puede ver que el grosor $h$ no es lo mismo que la longitud de un arco $Rd\theta$ y se necesita un factor adicional de $\cos\theta$ , lo que hace que su integral sea igual a $\frac43\pi R^3$ como debería ser.