¿Cuál es la norma matricial inducida por la norma vectorial ponderada?

Question

Denoto las normas vectoriales con barras dobles y las matriciales con barras triples.

Es bien sabido que la norma vectorial $L_2$ es decir $\| x \|_2 = \sqrt{x^\top x}$ induce la norma de la matriz $||| \cdot |||_2$ que es el mayor valor singular de una matriz.

Considere la ponderado norma, es decir $\| x \|_W = \sqrt{x^\top W x} = \| W^\frac12 x\|_2$ , donde $W$ es una matriz diagonal de pesos positivos.

Cuál es la norma matricial inducida por la norma vectorial $\| \cdot \|_W$ ?

¿Tiene una fórmula como $||| \cdot |||_W = |||F \cdot |||_2$ para alguna matriz $F$ ?

Answer 1

En general, cualquier simétrica definida positiva $W$ induce la norma $\|x\|_W=\sqrt{x^TWx}=\|W^{1/2}x\|_2$ en $\mathbb{R}^n$ .

La norma de la matriz inducida por $\|\cdot\|_W$ puede relacionarse con la norma espectral como $$ \|A\|_W =\max_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_W}{\|x\|_W} =\max_{x\neq 0}\frac{\|W^{1/2}Ax\|_2}{\|W^{1/2}x\|_2} =\max_{y\neq 0}\frac{\|W^{1/2}AW^{-1/2}y\|_2}{\|y\|_2} =\|W^{1/2}AW^{-1/2}\|_2 $$ (utilizando la sustitución $y:=W^{1/2}x$ ).