Poner un ejemplo de una estructura de cardinalidad $\omega_2$ que tiene una subestructura de $\omega$ pero ninguna subestructura de $\omega_1$

Question

Poner un ejemplo de una estructura de cardinalidad $\omega_2$ que tiene una subestructura de $\omega$ pero ninguna subestructura de $\omega_1$

Esto es de la obra de Hodges A Shorter Model Theory.

Mi idea es tomar algún conjunto de cardinalidad $\omega_2$ como el dominio, $\mathrm{dom}(A)$ . Elija y fije un subconjunto de $\mathrm{dom}(A)$ con cardinalidad $\omega$ Llama a esto $X$ . A continuación, tengo que elegir un $n$ relación de tipo -ario, $R^A$ cuidadosamente. La cuestión es que necesito encontrar algo que se rompa:

$R^A=R^B\cap A^n$

para todo subconjunto de cardinalidad $\omega_1$ pero tal que se mantiene para A subconjunto de cardinalidad $\omega$ . Los que he probado (como todo lo del conjunto $X$ estar relacionados entre sí, etc.) no funcionó.

¿Alguna pista?

Answer 1

SUGERENCIA: Usar sólo relaciones no funcionará, ya que dado un lenguaje con sólo símbolos de relación, y una estructura del lenguaje, cada subconjunto del dominio define una subestructura. Por lo tanto, es necesario utilizar funciones.

Dejemos que $\{f_\alpha\mid\alpha<\omega_2\}$ sea una lista de $\omega_2$ símbolos de funciones unarias. En aras de la concreción, podemos tomar $A=\omega_2$ . Encuentre una manera de interpretar $f_\alpha$ por lo que para cada $n<\omega$ , $f_\alpha(n)<\omega$ y si $\beta\geq\omega$ entonces $\{f_\alpha(\beta)\mid\alpha<\omega_2\}=\omega_2$ (en realidad no se necesita la igualdad allí, requiriendo que $|\{f_\alpha(\beta)\mid\alpha<\omega_2\}|=\aleph_2$ es suficiente).

Answer 2

(Inspirado por Asaf Karagila)

Dejemos que $A$ sea una estructura con $\mathrm{dom}(A)=\omega_2$ . $C^A=\emptyset$ , $R^A=\emptyset$ y $F^A=\{f_{\alpha}\colon \alpha<\omega_2\}$ donde:

$$f_{\alpha}(\beta)=\begin{cases}\beta \text{ for } \beta<\omega\\ \alpha \text{ for } \beta\geq \omega\end{cases}$$

Entonces defina $S$ sea una subestructura de $A$ con $\mathrm{dom}(S)=\omega$ , $C^A=\emptyset$ , $R^A=\emptyset$ y $F^A=\{f_{\alpha}\colon \alpha<\omega\}$ . Entonces, trivialmente $F^S=F^A\mid \mathrm{dom}(A)$ y $S$ es una subestructura de $A$ .

Sin embargo, si $T$ es una subestructura con $|T|=\omega_1$ entonces hay algo de $t\in T\setminus\omega$ . Escoge $\alpha\in A\setminus T$ entonces $f_{\alpha}(t)=\alpha\not\in T$ .