Dejemos que $A$ y $B$ dos puntos de la esfera unitaria. Supongamos que $A \neq B$ . Demuestre que existe en la esfera una curva derivable que conecta $A$ y $B$ .
Intenté usar la línea $R(x)=A+x(B-A)$ con $0 \leq x \leq 1$ , pero no sé cómo empezar.
Respuestas
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John Wayland Bales
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Estuviste cerca, pero elegiste un segmento de línea recta. Quieres que cada punto esté a una distancia unitaria del origen. Así que, siempre y cuando $A\ne-B$ debes dividir cada vector por su magnitud.
$$R(x)=\frac{A+x(B-A)}{\Vert A+x(B-A)\Vert}$$
Si $A=-B$ la línea recta pasará por $(0,0,0)$ y estarías dividiendo por $0$ .
Robert Lewis
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Desde
$A \ne B, \tag 1$
la única manera $A$ y $B$ puede ser colineal es si
$A = -B; \tag 2$
en este caso $A$ y $B$ son puntos antípodas y cualquier plano que contenga ambos $A$ y $B$ pasará a través de $(0, 0,0)$ un plano de este tipo intersectará la esfera en un gran círculo que contiene $A$ y $B$ y hemos terminado.
En el caso de que
$A \ne B \ne -A, \tag 3$
entonces el plano que pasa por $(0, 0, 0)$ y normal a $A \times B$ volverá a cortar la esfera en un gran círculo que contiene $A$ y $B$ que entonces forma una curva diferenciable en dicha esfera que conecta $A$ y $B$ esto se explica con más detalle, incluyendo fórmulas explícitas para dicha curva, en mi respuesta a esta pregunta .
