Diámetro en conjunto compacto

Question

Dejemos que $\{A_\alpha : \alpha \in I\}$ una familia de subconjuntos cerrados de un espacio métrico compacto $(X,d)$ tal que $\cap_{\alpha \in I} A_\alpha =\emptyset$ . Demostrar que $\exists \varepsilon>0$ de manera que si $B \subseteq X$ con $\delta(B)<\varepsilon$ entonces $\exists \beta \in I$ tal que $B \cap A_\beta = \emptyset$ . Donde $$\delta(B)=\sup \{d(x,y):x,y \in B\}.$$

Mi idea. Desde $\cap_{\alpha \in I} A_\alpha =\emptyset$ tenemos $X-\cap_{\alpha \in I} A_\alpha = X$ entonces $\cup_{\alpha \in I} (X-A_\alpha) =X$ Así que $\{X-A_\alpha : \alpha \in I\}$ es una cubierta abierta de $X$ y como $X$ es compacto tenemos que $X \subset \cup_{i=1}^{n} (X-A_{\alpha_i})$ . Esto es lo que tengo en este momento.

Answer 1

Asumiré que cada $A_\alpha$ no está vacío; en caso contrario, el problema es trivial.

De lo que has escrito se deduce que hay $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\in I$ tal que $\bigcap_{k=1}^nA_{\alpha_k}=\emptyset$ . Dado que cada $A_\alpha$ no está vacío, $n>1$ . Tome un número $\varepsilon>0$ que es menor que la distancia de $A_{\alpha_i}$ a $A_{\alpha_j}$ para dos números distintos cualesquiera $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ . Si $B\subseteq X$ es tal que $\delta(B)<\varepsilon$ entonces $B\cap A_{\alpha_i}\ne\emptyset$ para, como máximo, una $i\in\{1,2,\ldots,n\}$ . De hecho, si $B\cap A_{\alpha_i},B\cap A_{\alpha_j}\ne\emptyset$ con $i\ne j$ , entonces toma $b_i\in B\cap A_{\alpha_i}$ et $b_j\in B\cap A_{\alpha_j}$ . Entonces $d(b_i,b_j)\leqslant\delta(B)<\varepsilon$ . Pero esto es imposible, ya que $b_i\in A_{\alpha_j}$ , $b_j\in A_{\alpha_j}$ y $\varepsilon$ es menor que la distancia de $A_{\alpha_i}$ a $A_{\alpha_j}$ . Por lo tanto, se demuestra que $j\ne i\implies B\cap A_{\alpha_j}=\emptyset$ .