encontrar la línea simétrica de dos líneas dadas

Question

Tengo una pregunta. Supongamos que tenemos dos líneas dadas por las ecuaciones

$$y=2x+3$$ $$y=-2x+11$$

Quiero encontrar todas las ecuaciones de las líneas que estas dos líneas dadas tienen las mismas distancias de ellos en el plano.Como sé simétrica significa que la distancia entre ella y las dos líneas dadas debe ser igual. Así que supongamos que la línea solicitada es $$y=kx+b$$

después de calcular las distancias encontré la siguiente ecuación $2k-7b=0$ ¿qué significa? ¿Puede ayudarme?

Answer 1

Cuando decimos que algo en un plano es simétrico respecto a una recta, queremos decir que su reflexión sobre esa recta no cambia. Así que esto es engañoso. ¿Cómo se define la distancia entre dos líneas? ¿El ángulo? Si es así, se busca una bisectriz angular de las dos rectas. Pero hay dos, la línea vertical y la línea horizontal que pasan por el punto de intersección de esas dos líneas. Las coordenadas de este punto de intersección se calculan como sigue:

$$2x+3-y=0, -2x+11-y=0$$ $$\implies 0=(2x+3-y)-(-2x+11-y)=4x-8$$ $$\implies x=2, \implies 2x+3-y=7-y=0 \implies y=7.$$

Así, la línea vertical viene dada por la gráfica de x=2, la horizontal por la gráfica de y=7.

En general, se tomaría este punto de intersección y se encontrarían las rectas que pasan por él cuyo ángulo en la intersección es uno de los dos que están a mitad de camino entre los de las dos rectas de las que partimos. Como las pendientes $m, s$ de sus líneas de partida son la tangente de estos dos ángulos, uno de sus ángulos viene dado por la media de las arctangentes de esas dos pendientes, $\frac{arctan(m)+arctan(s)}{2}$ y el otro es ese ángulo más $\frac{\pi}{2}$ . Por lo tanto, las pendientes de sus líneas de solución son $tan(\frac{arctan(m)+arctan(s)}{2}), tan(\frac{arctan(m)+arctan(s)+\pi}{2})$ .