Para encontrar el valor mínimo de $|z+1|+|z-1|+|z-i|$ donde $z\in \Bbb C$.

Question

Para encontrar el valor mínimo de $|z+1|+|z-1|+|z-i|$ donde $z\in \Bbb C$. Opciones:

$(A) \ 2$

$(B) \ 2\sqrt2$

$(C) \ 1+\sqrt3$

$(D) \ \sqrt5$

Mi lógica es la suma será mínimo de la fib $z\in \Bbb C$ es uno de los tres puntos fijos $1,-1,i$. Y por cálculo, vemos que la suma es min cuando tome $z=i$.Es la solución correcta?

Sé que no es una buena solución para el problema....la búsqueda de un elegante...Sugerencia cant..

Se puede aplicar de Fermat-Torricelli punto que se da en la solución de abajo por Quang Hoang y es una buena solución para el problema geométricamente.....pero esto sólo puede aplicarse si sé que el resultado...la búsqueda de una solución de esta conocida de los resultados básicos de análisis...

Answer 1

Consejo: Mira el triángulo con tres vértices: $1$, $-1$ y $i$ en el plano complejo. La respuesta a la pregunta es el punto de Fermat-Torricelli.

Answer 2

El mínimo se alcanza en un punto donde los ángulos entre los radios de los tres puntos son todos iguales a 120 grados, si tal punto existe y uno de los puntos de otra manera.

Answer 3

Sugerencia: Una opción entre verdadero $z > 0,$ $$|z+1| + |z-1| + |z-i| = 2z + \sqrt{z^2 + 1}$ $ es increazing función.

Respuesta: (B)