Problema de dos profesores de matemáticas

Question

Mi amigo me hace una pregunta desde internet. La pregunta es la siguiente

Dos profesores de matemáticas, el profesor Uno y el profesor Dos, juegan al ajedrez en el parque mientras recuerdan su pasado.

El profesor Uno dice: "Se me acaba de ocurrir que, cuando nos conocimos, el cuadrado de tu edad contiene los mismos tres dígitos que el cuadrado de mi edad, pero en distinto orden".

El profesor Dos responde: "Si tomas el cuadrado de la suma de nuestras edades cuando nos conocimos y lo divides en dos números de dos cifras, tendrás mi edad de entonces y tu edad de ahora".

Si la suma de sus edades actuales puede expresarse como un número de 3 dígitos $\overline{abc}$ ¿Cuáles son los valores de $a$ , $b$ y $c$ ? Utilizando la información anterior, ¿es posible determinar sus edades?

Usando la hoja de cálculo por ensayo y error, obtuve que la edad actual del Prof. Uno es $72$ años y el profesor Dos es $81$ años. Porque $72+81=153$ entonces $a=1$ , $b=5$ y $c=3$ .

Mis preguntas son

1. ¿Cómo resolvemos esta cuestión utilizando una vía matemática formal?
2. ¿Existe un enfoque intuitivo para resolver esta cuestión sin utilizar el método de fuerza bruta?
3. ¿Es cierto que $72$ y $81$ ¿es la única solución? ¿Cómo lo sabemos?

Answer 1

Así es como lo resolví:

En primer lugar, echa un vistazo a lo que dijo el profesor Uno. Dijo que tanto su edad como la de Dos cuando se conocieron dieron un número de 3 dígitos cuando se conocieron. Esto significa que sus edades cuando se conocieron estaban entre $10$ y $31$ ya que $32^2>1000$ .

El segundo dato que tomé fue el hecho de que el cuadrado de la suma de sus edades cuando se conocieron era un $4$ número de dígitos ya que se puede dividir en dos $2$ -dígitos. Los dos primeros dígitos de este $4$ número de dígitos será la edad de Dos entonces, por lo que serán como máximo $31$ lo que significa que la suma de sus edades será como máximo $56$ , como $57^2>3200$ .

Esto limita un poco la pregunta, pero sigue dejando bastantes candidatos. Comprobar entonces el uso de un programa resuelve el problema, y realmente no creo que exista una solución más elegante al problema...

Answer 2

Primera pista: "el cuadrado de tu edad contiene los mismos tres dígitos que el cuadrado de mi edad, pero en diferente orden", por lo que su edad está entre 10 y 31 (este es el rango de números para los que el cuadrado contiene tres dígitos).

Buscando los cuadrados de los números en el rango $[10,31]$ tenemos el conjunto $$[100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, \\400,441,484,529,576,625,676,729,784,841,900,961]$$

Ahora, por observación vemos que los pares que tienen los mismos dígitos son $$(169,196),(169,961),(196,961),(144,441),(256,625)$$ Por lo tanto, tenemos cinco optinas.

Segunda pista: "Si tomas el cuadrado de la suma de nuestras edades cuando nos conocimos y lo divides en dos números de dos cifras, tendrás mi edad de entonces y tu edad de ahora".

El cuadrado de la suma de las edades da un número de 4 dígitos, por lo que tiene que ser mayor que 31. Nuestras cinco opciones para las edades son $(13,14),(13,31),(14,31),(12,21),(16,25)$ , por lo que la opción $(13,14)$ es irrelevante.

Ahora tenemos $4$ opciones para comprobar y encontrar que la única opción que encaja es $(16,25)$ , como $(16+25)^2=1681$ .

Si es así, encontramos que la edad del Prof. Dos en ese entonces era $16$ y el profesor Uno fue $25$ .

En la actualidad, el profesor Uno es $81$ Por lo tanto $66$ años han pasado y el Prof. Dos es $72$ .

Como has dicho, no hay opción de encontrar la solución sin ensayo y error y parece que se necesita otra pista.