Función característica de $Z=X-Y$ , donde $X$ y $Y$ sigue a Po( $\lambda$ ) y demostrar que $E[Z^2]=2\lambda$

Question

$\lambda$ es un número real positivo. Dos variables aleatorias $X$ y $Y$ son independientes entre sí y siguen una distribución de Poisson con media $\lambda$ .

Definimos $Z = X-Y$ .

Necesito obtener una función característica de $Z$ , $\varphi=E[e^{itZ}]$ y demostrar que $E[Z^2]=2\lambda$ .

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Lo que he probado

He comprobado que la distribución de Poisson tiene la propiedad de reproducción por lo que un parámetro de $Z$ , $\lambda'$ es $\lambda-\lambda=0$ .

Entonces obtuve una función característica de $$ \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{itz_i}}{z_i!}=e^{it}$$

Pero esto no dará ninguna función con $\lambda$ cuando quiero tener un momento de $Z$ .

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

No es cierto que $X-Y$ tiene una distribución de Poisson con parámetro $\lambda -\lambda$ . Obviamente $X-Y$ también toma valores enteros negativos, por lo que no puede tener una distribución de Poisson.

$Ee^{itX}=\sum e^{-\lambda} \frac {\lambda^{n} e^{itn}} {n!}=e^{-\lambda} e^{\lambda e^{it}}=e^{-\lambda (1-e^{it})}$ .

Por lo tanto, $$Ee^{it(X-Y)}=|Ee^{itX}|^{2}=e^{-2\lambda (1-cos ( t))}$$ .

Para encontrar $EZ^{2}$ diferenciar esto dos veces, poner $t=0$ y multiplicar por $-1$ .