¿Cómo resolver este volumen por revolución sobre el eje y, $y=2 \cos(x)$?

Question

El primer paso que tomé fue resolver para $x$.

$y=2\cos(x) => x=\arccos(\frac{y}{2})$

Luego encontré los valores de $y$ de la función e intersecciones entre la gráfica y el eje $(0,2)$ y $(\frac{}{2},0)$

Luego integré, $\int_0^2 \cdot [\arccos(\frac{y}{2})]^2 \;dy$ y resolví esto usando la fórmula $\int \arccos(x) = x \cdot \arccos(x)-\sqrt{1-x^2}$ y de eso obtuve una respuesta final de 7.28. Sin embargo, mi libro de texto tiene la respuesta como 7.17. ¿Alguien puede explicarme por qué estoy cerca pero aún así equivocado?

Answer 1

Bueno, dado que estás tratando de encontrar un volumen de revolución, deberías estar usando uno de los dos métodos que se utilizan para hacerlo: ya sea el método del disco (que es un caso especial del método de la arandela) o el método del cascarón. La configuración para el método del disco debería lucir así:

$$ V=\pi\int_{0}^{2}\left[\arccos\left(\frac{y}{2}\right)\right]^2\,dy\approx7.17\ unidades\ cúbicas. $$

Verificación en Wolfram Alpha%5E2%20dx%20from%200%20to%202).

O puedes hacerlo utilizando el método del cascarón, que en este caso parece ser más fácil en cuanto a la integración:

$$ V=2\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x(2\cos{x})\,dx= 4\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos{x}\,dx=\\ 4\pi\bigg[x\sin{x}+\cos{x}\bigg]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= 4\pi\bigg[\frac{\pi}{2}\sin{\frac{\pi}{2}}+\cos{\frac{\pi}{2}}-(0\cdot\sin{0}+\cos{0})\bigg]=\\ 4\pi\left(\frac{\pi}{2}-1\right)= 2\pi(\pi-2)\approx 7.17\ unidades\ cúbicas. $$

Answer 2

(Has editado tu pregunta, por lo que tu integral indefinida ya no coincide con la integral definida.)

Las coordenadas polares cilíndricas son apropiadas ya que cuando la curva se rota, tendrás un volumen con simetría cilíndrica.

El problema es entonces $$ z=2 \cos{r} \tag{1}\label{eq1} $$ y $$ V=\int_0^2 \pi r^2 dz \tag{2}\label{eq2} $$ De $\eqref{eq1}$ $$ \frac{dz}{dr}=-2 \sin{r} $$ Sustituyendo esto en $\eqref{eq2}$ y cambiando los límites adecuadamente se obtiene (usando integración por partes) $$ V=4\pi(\pi/2-1)\approx7.17 $$