Comprobación de la solución: recogida $5$ -manos de cartas de la baraja estándar de $52$ con condiciones

Question

Problema

Se reparte una mano de 5 cartas de una baraja perfectamente barajada. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos?

(a) La mano tiene al menos un palo.

(b) La mano tiene al menos dos cartas del mismo rango.

(c) La mano tiene exactamente un palo o una pica.

(d) La mano tiene al menos un palo o una pica.

Mis soluciones

(a) Por complemento, si no hay palos, significa que tenemos $13$ rangos pero sólo $3$ trajes a elegir, para un total de $39$ tarjetas entre las que elegir $5$ :

$p(E) = 1 - \frac{{39 \choose 5}}{{52 \choose 5}}$

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(b) Por complemento, si al menos $2$ cartas tienen el mismo rango, entonces la negación de esta afirmación es que ningún $2$ las cartas tienen el mismo rango, es decir, todas $5$ las cartas son de distinto rango. Esto significa que sólo tenemos $13$ tarjetas para elegir (creo), así que tengo:

$p(E) = 1 - \frac{{13 \choose 5}}{{52 \choose 5}}$

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(c) Dejemos que $C$ denota el conjunto de resultados que son exactamente $1$ club, y dejar que $S$ denota el conjunto de resultados que son exactamente $1$ pala. No son mutuamente excluyentes.

$p(C \cup S) = p(C) + p(S) - p(C \cap S)$

$p(C)$ Una de las cartas es un palo, lo que nos deja con $13$ rangos y $3$ trajes para elegir (y nosotros elegimos $4$ tarjetas): ${39 \choose 4}$

$p(S)$ : la misma lógica que la anterior, por lo que tenemos ${39 \choose 4}$ de nuevo

$P(C \cap S)$ un palo y una pala, $3$ tarjetas que quedan para elegir $2$ trajes de $13$ rangos de cada uno, lo que significa que elegimos $3$ de $26$ tarjetas: ${26 \choose 3}$

Lo tengo: $\frac{2\cdot {39 \choose 4}-{26 \choose 3}}{{52 \choose 5}}$

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(d) Al menos $1$ club o al menos $1$ pala; podemos utilizar el complemento para encontrar la probabilidad de $0$ clubes Y $0$ picas y restar esto de $1$ . Si no hay palos ni picas, entonces tenemos $13$ tarjetas y $2$ trajes para elegir, y elegimos $5$ tarjetas, así que eso es ${26 \choose 5}$ .

Lo tengo: $p(E) = 1 - \frac{{26 \choose 5}}{{52 \choose 5}}$

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Preguntas/preocupaciones

Te agradecería mucho si pudieras verificar mi trabajo, ya que las soluciones no están disponibles. Tengo especial curiosidad por saber si he hecho bien la parte (b).

Answer 1

Comentario ampliado: Se trata de una simulación mezclada con algunos cálculos exactos. Puede servir para comprobar la realidad de un par de partes de tu pregunta.

La simulación en R reparte un millón de manos de 5 cartas y cuenta Tréboles y Picas. El deck consta de los números 1, 2, 3, 4, para H, D, C, S, respectivamente; 13 de cada uno. (El sample distingue entre los elementos etiquetados con el mismo número).

Con un millón de manos, las probabilidades deberían ser exactas a unos dos o tres lugares. Los valores exactos de $13{39 \choose 4}/{52 \choose 5}$ y la probabilidad hipergeométrica correspondiente. Puede ser interesante que veas la distribución hipergeométrica en tu libro de libro de texto o en la Wikipedia.

deck = rep(1:4, times=13)
deck
# [1] 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2
#[27] 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

m = 10^6;  nr.cl = nr.sp = numeric(m)
for (i in 1:m) {
  hand = sample(deck,5)
  nr.cl[i] = sum(hand==3)
  nr.sp[i] = sum(hand==4)  }

mean(nr.cl==1);  mean(nr.sp==1)
## 0.411229      # aprx P(exactly 1 Club)
## 0.412112      # aprx P(exactly 1 Spade)
13*choose(39,4)/choose(52,5)
## 0.4114196     # exact value of above from combinatorics
dhyper(1, 13, 39, 5)
## 0.4114196     # exact value of above from hypergeometric dist'n

mean((nr.cl==1) | (nr.sp==1))
## 0.654191      # aprx P(ex 1 Club OR ex 1 Spade)
mean((nr.cl==1) & (nr.sp==1))
## 0.16915       # aprx P(ex 1 Club AND ex 1 Spade)