¿Qué es la geometría detrás de $\frac{\tan 10^\circ}{\tan 20^\circ}=\frac{\tan 30^\circ}{\tan 50^\circ}$?

Question

Esta identidad es soluble con ayuda de identidades de trigonometría, pero creo que hay una interpretación interesante y simple de la geometría detrás de esta identidad y no puedo encontrar esto.

Edición: Me parece cuando estaba pensando en Problema de geometría fácil más difícil del mundo

Answer 1

Considere un triángulo $ABC$ con $\angle A = 10^\circ$, $\angle B = 150^\circ$, y $\angle C=20^\circ$. Deje $O$ ser el circuncentro del triángulo $ABC$. Entonces $$\angle AOC = 360^\circ - 2 \angle B = 60^\circ,$$ así triángulo $AOC$ es equilátero.

Deje $S$ ser el circuncentro del triángulo $OBC$. Entonces $$\angle BSC = 2\angle BOC = 4\angle BAC = 40^\circ$$ y $$\angle SCB = \frac{180^\circ - \angle BSC}2 = 70^\circ,$$ por lo $\angle SCA = 50^\circ$. Denota la intersección de $AC$ $SB$ $X$ tenemos $$\angle CXS = 180^\circ - \angle SCA - \angle BSC = 90^\circ$$ so $AC \asesino SB$.

Por otra parte $\triangle ASC \equiv \triangle ASO$ porque $AC=AO$$SC=SO$. En particular, $\angle CAS = \angle SAO$ y desde $\angle CAO=60^\circ$,$\angle CAS = 30^\circ$.

Observar que $$\frac{\tan \angle BAC}{\tan \angle ACB} = \frac{\frac{BX}{AX}}{\frac{BX}{CX}} = \frac{CX}{AX} = \frac{\frac{SX}{AX}}{\frac{SX}{CX}} = \frac{\tan \angle CAS}{\tan \angle SCA},$$ por lo tanto $$\frac{\tan 10^\circ}{\tan 20^\circ} = \frac{\tan 30^\circ}{\tan 50^\circ}.$$