Dejemos que $A=\mathbb C[x_1,\dots,x_n]$ sea el anillo de polinomios en $n$ variables sobre el campo de los números complejos y considerar el ideal $I=\langle f \rangle\subseteq A$ , donde $f$ es un polinomio. Denotemos por $I':=\langle \mathrm{LT}(f)\rangle$ , donde $\mathrm{LT}(f)$ es el término principal de $f$ con respecto a un orden monomial. ¿Es cierto que $A/I$ es isomorfo a $A/I'$ ? ¿Existe un isomorfismo natural?
Respuesta
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Los dos anillos no son isomorfos en general.
Para $n=1$ , toma $X^2-1$ . Entonces $\mathbb{C}[X]/(X^2)$ tiene el elemento nilpotente $\bar{X}$ . Por otro lado, $\mathbb{C}[X]/(X^2-1) \cong \mathbb{C}[X]/((X-1)(X+1))$ que por el Teorema del Resto Chino es isomorfo a $\mathbb{C}[X]/(X-1) \times \mathbb{C}[X]/(X+1)\cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ . Este último anillo no tiene elementos nilpotentes.
Para $n>1$ , toma $f=X_1^d+\dots+X_n^d+1$ . Desde $f$ es irreducible de grado $d$ (ver Polinomios homogéneos irreductibles de grado arbitrario ), $I=(f)$ es un ideal primo, por lo que $A/I$ es un dominio integral. Por otro lado $A/I'$ tiene cero divisores.
