Demostrar que $(a+b+c)^{333}-a^{333}-b^{333}-c^{333}$ es divisible por $(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}$

Question

Demostrar que $$(a+b+c)^{333}-a^{333}-b^{333}-c^{333}$$ es divisible por $$(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3},$$ donde $a,,b,c -$ enteros, tales que $(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}\not =0$

Mi trabajo hasta ahora:

$(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(a+b)(b+c)(c+a)$

Dejemos que $333=3\cdot111=3t,$ donde $t=111$ .

$(a+b+c)^{333}-a^{333}-b^{333}-c^{333}=(a+b+c)^{3t}-a^{3t}-b^{3t}-c^{3t}$ .

Necesito ayuda aquí.

Answer 1

Sugerencia $1:$ Dejemos que $f(a)=(a+b+c)^{333}- a^{333} -b^{333} -c^{333}.$

$f(-b)=(-b+b+c)^{333} -(-b)^{333} -b^{333} -c^{333}=0$

Entonces, por el teorema del factor obtenemos $(a+b)$ como factor de la expresión dada.

De la misma manera, $(b+c)$ y $(c+a)$ son factores de la expresión dada.

Sugerencia $2:$ Ahora, para demostrar la divisibilidad de la expresión por $3$ usar el pequeño teorema de Fermat.

$a^2 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow a^{333} \equiv a\pmod 3$

De la misma manera,

$b^{333} \equiv b \pmod 3$
$c^{333} \equiv c \pmod 3$
$(a+b+c)^{333} \equiv (a+b+c)\pmod 3$

Así, la expresión dada es $\equiv 0 \pmod 3$

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Como la expresión dada es divisible por cada uno de estos cuatro factores, es divisible por $(a+b+c)^3 -a^3-b^3-c^3$ .