Dos preguntas sencillas sobre la función compleja $f(z)=e^z$

Question

Estoy trabajando en problemas básicos sobre números complejos y funciones para aprender el análisis complejo del libro de texto de Lang. Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Dejemos que $f:\mathbb C \to \mathbb C$ , $f(z)=e^z$ (si $z=a+bi$ entonces $e^z=e^ae^{ib}$ )

a) Encuentre la imagen bajo $f$ del conjunto $S=\{z \in \mathbb C : 0\leq Im(z)<2\pi\}$ .

b) Demuestre que la imagen de la línea $\{t+it : t \in \mathbb R\}$ es una espiral.

Para a), no estoy tan seguro de cómo describir la imagen, sé que si $z=a+bi$ entonces $b \in [0,2\pi)$ . Por definición, $e^{ib}=\cos(b)+i\sin(b)$ por lo que la imagen del conjunto $S$ es $T=\{w \in \mathbb C : w=f(z)=e^a(\cos(b)+i\sin(b)), \space b \in [0,2\pi)\}$

¿Es ésta una forma correcta de describir la imagen del conjunto dado?

Para la parte b), no sé cómo mostrar esto, tal vez tengo que encontrar una posible parametrización $\phi(t)$ del conjunto $\{(u(t),v(t),t) \in \mathbb R^3\}$ donde si $w=f(z(t))$ entonces $w=u(t)+iv(t)$ .

Si $z$ está en la línea, entonces $z=t+it$ y $f(z)=e^t(\cos(t)+i\sin(t))=e^t\cos(t)+ie^t\sin(t)$ ,

por lo que la parametrización sería $\phi(t)=(e^t\cos(t),e^t\sin(t),t)$

¿Es esta la parametrización de una espiral?

Answer 1

1.) Su caracterización es correcta, pero hay una descripción más fácil de $T$ . Observe detenidamente los valores de $f(z) = e^a(\cos(b)+i\sin(b))$ : Si se fija $a$ y varían $b \in [0,2 \pi)$ entonces la imagen de $(cos(b)+i\sin(b))$ es el círculo unitario. Si se fija $b$ se puede escalar el número por un número real positivo $e^a$ , ya que $e^a$ está en $\Bbb R^+$ . Así que puedes interpretar $T$ como la unión de todos los círculos del plano complejo con centro $0$ y un radio positivo arbitrario. ¿Qué es eso?

2) Sí, es una espiral, pero ¿por qué necesitas una $3$ -vector real de dimensiones para describirlo? Si se quiere describir con un vector real, basta con dos variables. Normalmente se describen las espirales en coordenadas polares $(r(t),\theta(t))$ dependiente de un parámetro $t$ donde $\theta(t)$ se interpreta como el ángulo y $r(t)$ como el radio. Así que en su caso $r(t) = e^t$ y $\theta(t) = t$ una espiral logarítmica.