¿Es el haz de determinantes el pullback de la $\mathcal O(1)$ en $\mathbb P^n$ bajo la incrustación de Plücker?

Question

Dejemos que $V$ ser un $n$ -espacio vectorial complejo y considerar el Grassmanniano del complejo $k$ -aviones $Gr(k,V)$ . La incrustación de Plücker es una incrustación $p:Gr(k,V) \to \mathbb P^M$ donde $M = \left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)$ dado por $$\text{span}\{ u_1,\ldots,u_k\} \mapsto [u_1\wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_k].$$

El Grassmanniano viene equipado con un haz vectorial tautológico $T \to Gr(k,V)$ de rango $k$ , donde $$T = \{ (W,w): W \in Gr(k,V), w \in W\}.$$ A este haz tenemos pues el haz de determinantes asociado $\det T\to Gr(k,V)$ cuya fibra sobre sobre $W$ es $\wedge^k W$ .

Espacio proyectivo $\mathbb P^M$ viene con su propio paquete $\mathcal O(1) \to \mathbb P^M$ .

¿Es el caso que $p^*\mathcal O(1) = \det T$ ?

Sospecho que esto es efectivamente cierto. Mi evidencia es que $\det T$ es un haz de líneas precuántico y por lo tanto es muy amplio, admitiendo una incrustación de $Gr(k,V)$ en $\mathbb P^n$ para algunos $n$ . Además, la conexión Chern en $T$ es localmente $d+\partial\bar\partial \log \det(Z^t Z)$ para una sección global $Z$ mientras que la conexión Chern/precuántica en $\mathbb P^n$ es $d + \partial \bar\partial \log( |z_i|^2)$ siendo demasiado similares para ser una mera coincidencia (por supuesto, la mayoría de las conexiones de Chern son así).

Alternativamente, la incrustación de Plücker que actúa en $W$ surge al tomar los determinantes de $k\times k$ subminores de la matriz cuyas columnas abarcan $W$ y en cierto sentido estos determinantes se sienten como si fueran secciones algebraicas del haz de determinantes, y por lo tanto darían precisamente la incrustación muy amplia, pero no estoy seguro de cómo mostrar esto más explícitamente.