Conseguir el atado $\frac{1}{h}\int_0^{T-h}\int_t^{t+h}\int_\Omega |\nabla u(\tau)| |\nabla u(t+h) - \nabla u(t)|\;dxd\tau dt \leq C$

Question

Dejemos que $u \in L^2(0,T;H^1(\Omega)) \cap L^\infty(0,T;L^2(\Omega)).$

¿Es posible encontrar el siguiente límite? $$\frac{1}{h}\int_0^{T-h}\int_t^{t+h}\int_\Omega |\nabla u(\tau,x)| |\nabla u(t+h,x) - \nabla u(t,x)|\;dxd\tau dt \leq C\quad \forall h \in [0,T]$$ donde $C$ se permite que dependa de (normas apropiadas de) $u$ pero no debe depender de $h$ .

Answer 1

Dado que no hay información sobre cómo $\nabla u$ cambios con respecto a $t$ no podemos esperar obtener ninguna cancelación en $|\nabla u(t+h,x) - \nabla u(t,x)|$ . Sólo hay que estimarlo en $|\nabla u(t+h,x)| + |\nabla u(t,x)|$ .

Utilizando la notación $U(t) = \|\nabla u(t,\cdot)\|_{L^2}$ y la desigualdad de Cauchy-Schwarz, estimamos la integral dada por
$$\frac{1}{h} \int_0^{T-h} \int_t^{t+h} U(\tau) (U(t+h)+U(t))\,d\tau\,dt \tag{1}$$ Desde $U\in L^2(0,T)$ su función máxima unilateral de Hardy-Littlewood $$ M_U(x) = \sup_{h>0} \frac{1}{h} \int_t^{t+h} U(\tau) \,d\tau $$ también está en $L^2(0,T)$ (con un límite de la norma ). Así, (1) se estima mediante $$ \int_0^{T-h} M_U(t) (U(t+h)+U(t)) \,dt$$ que es la integral del producto de dos $L^2$ funciones, por lo tanto finitas.