Explicando Conjuntos Infinitos y La falta en Nuestras Estrellas

Question

En la observación de La falta en Nuestras Estrellas yo no podía dejar de temblar en una línea en la que voló en la cara de las matemáticas y, posteriormente, arruinado la película para mí:

"Hay infinitos números entre 0 y 1. Hay .1 y .12 y .112 y una colección infinita de los demás. Por supuesto, hay una mayor conjunto infinito de números entre 0 y 2, o entre 0 y un millones de dólares. Algunos infinitos son más grandes que otros infinitos." - John Green

Mientras caminaba a la salida del teatro traté de explicar a mis amigos por qué eran, de hecho, exactamente la misma cantidad de números entre 0 y 1, 0 y 2, pero el Cantor y bijective funciones no son grandes herramientas de aprendizaje a los comandantes ingleses.

¿Alguien tiene un elocuente o de manera elegante a enumerar este fenómeno por medio de un ejemplo accesible para aquellos que no están familiarizados con las matemáticas avanzadas?

Answer 1

Mira, no te preocupes. El autor es absolutamente correcto si por "más grande" que significa mayor medida de Lebesgue en lugar de mayor cardinalidad. La cardinalidad es simplemente una manera de resumen nuestras intuiciones sobre el tamaño y no es, obviamente, el mejor para usar en todas las situaciones (especialmente en este tipo de situación en la que se vuelve altamente contradictorio de los resultados).

Answer 2

Supongamos que Alice tiene una cesta con pelotas en ella, uno para cada número real entre $0$ y $1$, lo que está escrito en la bola. OK, es difícil imaginar tantas bolas - o incluso la manera de gestionar para escribir cualquier número real en una bola, pero ese no es el punto aquí.

Bob también tiene una cesta, también con una pelota para cada número real entre $0$ y $1$. Si hay algún concepto para hacer sentido de todo esto, sólo podemos decir que Alice y Bob tienen el mismo número de bolas en la canasta.

Lo que si Bob sacó a su marcador y pintado de un punto verde en cada una de sus bolas? Por supuesto, los dos amigos aún tienen el mismo número de bolas.

Lo que si Bob lugar, va a anteponer los símbolos "$2\times$" antes de que el número escrito en la pelota? Por supuesto, los dos amigos aún tienen el mismo número de bolas. La diferencia con el ejemplo anterior es menor de edad - punto verde o un dígito, y a veces el símbolo, que no hace una diferencia.

Lo que si Bob ahora para cada una de sus bolas reemplaza el número ($x$, digamos), escrita por él con la cantidad de $2x$? De ocurse todavía tienen el mismo número de bolas. La diferencia a la provious ejemplo es menor de edad - si el balón ha "$2\times0.314159$" o "$0.628318$" no importa.

Ahora, en una mirada más cercana, Bob advierte que en su cesta tiene una bola para cada número real entre $0$ y $2$.

Llegamos a la conclusión de que hay muchos números de entre $0$ y $1$, ya que hay entre $0$ y $2$.

Answer 3

Empate a dos en paralelo de los segmentos de línea, uno pequeño y uno grande, a continuación, construir el triángulo formado mediante la unión de sus puntos finales. Observa cómo cada línea determinada por el recién obtenidas por el vértice y un punto en el pequeño segmento no corresponde exactamente a un punto en el segmento más grande, y viceversa, lo que demuestra que los dos tienen exactamente el mismo número de puntos, independientemente de sus diferentes longitudes.

Answer 4

Si la unidad $de$ 60 kilómetros por hora de recorrer un kilómetro en un minuto. Si la unidad $120$ kilómetros por hora que se atraviesan dos kilómetros en un minuto. De esta manera cada una distancia de entre $0$ y $de$ 1 kilómetro corresponden a un tiempo de entre $0$ y $de$ 1 minuto. Pero, lo mismo es cierto para cada distancia entre $0$ y $de$ 2 kilómetros.