Ejemplo de un subespacio no cerrado tal que el cociente no es un espacio de Banach

Question

Como he aprendido recientemente en mi curso de Análisis Funcional, es bien sabido que si $X$ es un espacio de Banach normado y $Y$ es un subespacio cerrado, entonces el cociente $X/Y$ es un espacio de Banach (por ejemplo Cómo demostrar que el espacio cociente $X/Y$ está completa cuando $X$ es un espacio de Banach, y $Y$ es un subespacio cerrado de $X$ ? )

Sin embargo, he tratado de encontrar un ejemplo explícito de un espacio de Banach normado $X$ y un subespacio no cerrado $Y$ tal que $X/Y$ no es un espacio de Banach, pero aún no he llegado a nada.

¿Pueden ayudarme a encontrar esos espacios? Sería estupendo leer tus respuestas, puede que haya ejemplos interesantes por ahí.

Answer 1

No es necesario "encontrar" ejemplos, cualquier El subespacio no cerrado es un ejemplo.

Diga $Y$ es un subespacio de $X$ y $Y$ no está cerrado. Diga $y_n\in Y$ , $y_n\to x$ y $x\notin Y$ . Entonces $$||x+Y||=0$$ aunque $x+Y\ne0$ .

Answer 2

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y sea $\alpha\colon X\longrightarrow\mathbb R$ sea una forma lineal discontinua. Entonces $\ker\alpha$ es un subespacio denso de $X$ . Y $X/\ker\alpha$ no es un espacio de Banach simplemente porque la norma $$\|x+\ker\alpha\|=\inf\{\|x+y\|\,|\,y\in\ker\alpha\}$$ no es una norma. De hecho, se deduce de la densidad de $\ker\alpha$ que $$(\forall x\in X):\|x+\ker\alpha\|=0.$$