Una transformación en serie

Question

Por qué la igualdad

$$ \sum_{k=0}^{2n} \sum_{i=\lfloor{\frac{k}{n+1}}\rfloor(k-n)}^{k-\lfloor{\frac{k+1}{n+1}}\rfloor(k-n)} \binom{n}{i} \binom{n}{k-i} $$ $$ = \sum_{k=0}^{2n} \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{n}{k-i} $$

¿tiene?

No pude encontrar ninguna explicación.

Editar: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual a x. Y

$$ \binom{n}{i} $$

es la conocida función de combinación.

Answer 1

$$ \sum_{k=0}^{2n} \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{n}{k-i}\\ =\sum_{k=0}^{n} \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{n}{k-i} +\sum_{k=n+1}^{2n} \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{n}{k-i}\\ =\sum_{k=0}^{n} \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{n}{k-i} +\sum_{k=n+1}^{2n} \sum_{i=\color{red}{k-n}}^{\color{red}n} \binom{n}{i} \binom{n}{k-i}\\ =\sum_{k=0}^{2n} \sum_{i=\lfloor{\frac{k}{n+1}}\rfloor(k-n)}^{k-\lfloor{\frac{k+1}{n+1}}\rfloor(k-n)} \binom{n}{i} \binom{n}{k-i}. $$ El cambio de índice marcado por el color rojo se puede hacer debido a que para $k\ge n+1$ $$ \binom{n}{i} \binom{n}{k-i}=0 $$ para $i<k-n$ y $i>n$ .

Por lo tanto, la función suelo no hace otra cosa que impedir la suma sobre términos nulos.