hace la convexidad constante asegura el mínimo global

Question

Tengo la siguiente pregunta: Consideremos una función $f:R^n \longrightarrow R$ s.t:

1. hay un punto $x_0 \in R^n$ s.t. $\frac{\partial f}{\partial x^k} =0$ $\forall k$ .

2. la matriz hessiana ${\partial^2 f \over \partial x^i \partial x^j}$ es positiva definida para todo $x \in R^n$ pero no necesariamente constante.

Ahora, es el punto $x_0$ un minimizador global de $f$ ?? Creo que sí, pero ¿cómo probarlo?

Answer 1

Si el hessiano es positivo, la función es convexa. Una función convexa diferenciable satisface $f(x)-f(y) \ge Df(y)(x-y)$ para todos $x,y$ . Por lo tanto, si $Df(x_0) = 0$ entonces $x_0$ debe ser un minimizador (global).

Prueba del resultado anterior: Sea $\phi(t) = f(y+th)$ Entonces, como $\phi$ es convexo, nosotros tenemos $\phi(t)-\phi(0) \le (1-t) \phi(0)+t \phi(1) - \phi(0) = t (\phi(1)-\phi(0))$ y así ${\phi(t)-\phi(0) \over t } \le \phi(1)-\phi(0)$ . Al tomar los límites se obtiene $\phi(1)-\phi(0) \ge \phi'(0)$ .

Si dejamos que $h = x-y$ y observe que $\phi'(0) = Df(y)(y-x)$ obtenemos el resultado deseado.

Un resultado similar y muy útil es que la función $R$ definido aquí es monotónicamente no decreciente en cualquiera de sus variables (con la otra fija).