Tenemos a>0 y $X_1,X_2,...$ ser iid $N(\mu,1)$ variables aleatorias. También $S_0=a$ y $S_n=a+X_1+...+X_n$ . Sea R el caso de que $S_n\leq 0$ para algún n. Demuestre que $P(R)\leq e^{-2\mu a}$ .
He creado una nueva martingala $Y_n=e^{-2\mu S_n}$ pero estoy confundido sobre lo que debo hacer a continuación. Qué tiempo de parada debo considerar para hacer una expresión útil para la R par.
Respuesta
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Como sugirió Did, puedes aplicar la desigualdad de Doob. Si quieres demostrarlo por tu cuenta, define un tiempo de parada $T$ por $$T := \min\{0 \leq k \leq n; Y_k \geq 1\}$$
Tenga en cuenta que esto implica $$\mathbb{P} \left[ \inf_{0 \leq k \leq n} S_k \leq 0 \right] = \mathbb{P} \left[ \max_{0 \leq k \leq n} Y_k \geq 1 \right] = \mathbb{P}[T<\infty] = \mathbb{P}[T<\infty,Y_{T \wedge n} \geq 1]$$
Ahora aplique la desigualdad de Markov y utilice el hecho de que $(Y_n)_n$ es una martingala para concluir que $(Y_{T \wedge n})_n$ es una martingala.
