Cálculo del límite de probabilidad - Teorema central del límite.

Question

Un gato entrega $n$ gatitos. Cada uno de ellos es un macho con una probabilidad de $1\over 2$ , de forma independiente. Sea $1\le k\le n$ sea un número entero. Denotemos $B$ como el evento en el que al menos $k$ de los gatitos son machos. Deje que $k={n\over 2}+\sqrt{n}$ . ¿Qué hay de cierto en $P(B)$ como $n\to \infty$ ?

1. Converge a $a\le 0.05$
2. Converge a $0.25\le a\le 0.5$
3. Converge a $a>0.5$
4. Ninguno

Ahora bien, en primer lugar, ¿por qué se me aconseja utilizar el CLT en lugar de computar $({1\over 2})^{k}$ ? En segundo lugar, estoy un poco atascado al utilizar el CLT. Deje que $X_n=x_1+...+x_n$ sea el número de gatitos machos de $n$ gatitos. Eso significaría que $x_i$ es un indicador y me sale: $E[X_n]={n\over 2}$ y $Var(X_n)={n\over 4}$ . Ahora ¿estoy buscando $P(k-1\le X_n\le k+1)$ ? Porque si es así, lo entiendo: $P({{\sqrt{n}-1}\over {1\over 2}\sqrt{n}}\le {X_n-{n\over 2}\over {1\over 2}\sqrt{n}}\le {{\sqrt{n}+1}\over {1\over 2}\sqrt{n}})=\Phi({{\sqrt{n}+1}\over {1\over 2}\sqrt{n}})-\Phi({{\sqrt{n}-1}\over {1\over 2}\sqrt{n}})$ . No sé si puedo calcular el límite de esa manera. Estoy muy confundido. Me vendrían bien las indicaciones en esto.

Answer 1

Desde $n \to \infty$ podemos suponer que $n\ge 30$ para poder utilizar el CLT. Así, podemos utilizar la media y la varianza de nuestra distribución binomial dada para construir una aproximación normal. Como ya ha observado $E[X_n] = n/2$ y $\sigma (X_n)) = \frac{\sqrt{n}}{2}$ . Nuestro objetivo es encontrar $P(x_n\ge k)=P(\frac{x_n-n/2}{.5\sqrt{n}})=$ $$P( \frac{x_n-n/2}{.5\sqrt{n}} \ge \frac{n/2+\sqrt{n}-n/2}{.5\sqrt{n}})=P(z\ge2)=1-P(z\le2)=1-.9772=.0228$$ Lo único que me preocupó de esto es que nunca se tomó un límite, sin embargo era necesario tener $n\ge 30$ para poder utilizar CLT.