Cómo demostrar que $X^p-t\in\mathbb{F}_p(t)[x]$ es irreducible?

Question

Esta pregunta se hace previamente aquí pero no existe una solución completa para ello.

Entiendo que la raíz $\alpha$ existen en el cierre algebraico de $\mathbb{F}_p(t)[x]$ y es la única raíz porque $f(X)=(X-\alpha)^p$ Pero, ¿cómo podemos demostrar que $\alpha\not\in\mathbb{F}_p(t)[x]$ ?

Una solución que veo escribe $f(X)=g(X)h(X)$ y argumentar que desde $g(X)=(X-\alpha)^i$ y $i<p$ entonces $\alpha\in \mathbb{F}_p(t)[x]$ . ¿Cómo se deduce esto?

Answer 1

El criterio de Eisenstein y el lema de Gauss son útiles en este caso. Por el Lemma de Gauss, $X^p-t$ es irreducible en $\mathbb F_p(t)[X]$ si y sólo si es irreducible en $\mathbb F_p[t][X]$ . Pero el ideal $(t) \trianglelefteq \mathbb F_p[t]$ es primo ; esto se demuestra por el hecho de que si el producto de dos polinomios en $t$ (con coeficientes en $\mathbb F_p$ ) es divisible por $t$ entonces uno de los factores del polinomio tiene que ser divisible por $t$ (pista: enchufar $t=0$ !). Sabiendo que $t$ es primo en $\mathbb F_p[t]$ nos permite aplicar el criterio de Eisenstein.

Espero que eso ayude,

Answer 2

Porque sólo tiene una raíz, y ninguna está en $\Bbb F_p(t)$ . Recordemos que para cualquier raíz $\zeta$ tenemos $\zeta^p=t$ pero desde entonces $\Bbb F_p(t)[x]$ es un UFD, significa que $(x-\zeta)^p=x^p-t$ tiene una sola raíz. Por lo tanto, si es reducible, se reduce hasta el final, y de hecho hay un elemento de $\Bbb F_p(t)$ tal que $\left(\displaystyle{q(t)\over r(t)}\right)^p=t$ .

Pero claramente esto es imposible ya que entonces $r(t)^p = q(t)^p\cdot t$ y tomando derivadas a ambos lados obtenemos

$$0=pr(t)^{p-1}r'(t)=pq(t)^{p-1}\cdot q'(t)\cdot t + q(t)^p = q(t)^p$$

lo que implicaría que $q(t) = 0$ lo que implica $t=0$ .