Límite multivariable $\lim\limits_{(x,y,z) \rightarrow (0,0,0)} \frac{xy+2yz+3xz}{x^2+4y^2+9z^2}$

Question

El problema es: $$\displaystyle \lim_{(x,y,z) \rightarrow (0,0,0)} \frac{xy+2yz+3xz}{x^2+4y^2+9z^2}.$$

El tutor adivinó que no existía, y estaba en lo cierto. Sin embargo, me gustaría entender por qué no existe.

Creo que tengo que pasarlo a coordenadas esféricas y luego ver si el resultado final depende de un ángulo, como he hecho para dos variables con coordenadas polares. Sin embargo, no sé cómo.

Lo sé. $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ y $\theta = \arctan \left(\frac{y}{x} \right)$ y $\phi = \arccos \left( \frac{z}{\rho} \right)$ pero, ¿cómo puedo romper esta cosa?

Answer 1

Supongamos que $x=y=z=t$ y $t\to0$ entonces la relación converge a $\frac37$ . Supongamos que $x=y=t$ , $z=-t$ y $t\to0$ entonces la relación converge a $-\frac27$ . En ambos casos, $(x,y,z)\to(0,0,0)$ cuando $t\to0$ . Los dos límites no son iguales, por lo que el límite cuando $(x,y,z)\to(0,0,0)$ no existe.

Answer 2

Tomemos el límite $z\to0$ primero, consiguiendo

$$\lim_{x,y\to 0} \frac{xy}{x^2+4y^2}$$

Ahora considere lo que sucede si usted toma el límite a lo largo de $y=x$ :

$$\lim_{x,y\to 0} \frac{xy}{x^2+4y^2} = \lim_{x\to0} \frac{x^2}{5x^2} = \frac{1}{5}$$

y a lo largo de $y=2x$ :

$$\lim_{x,y\to 0} \frac{xy}{x^2+4y^2} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{17x^2} = \frac{2}{17}$$

Eso es suficiente para saber que el límite depende de la dirección.

Answer 3

Si quieres reescribir a coordenadas esféricas, lo que necesitas son expresiones para las coordenadas rectangulares en términos de las esféricas, como $x=\rho\cos(\theta)\sin(\phi)$ y no al revés. (Por cierto, el nombre de la carta $\rho$ se escribe "rho").

Sin embargo, no creo que pasar a las coordenadas esféricas sea el enfoque más instructivo en este caso. Será un montón de trabajo que sólo oscurece la real truco de este límite. En su lugar, basta con fijar algún punto no nulo $P_0=(x_0, y_0, z_0)$ e imaginar $(x,y,z)$ que va hacia $(0,0,0)$ a lo largo del rayo que atraviesa $P_0$ : $$(x,y,z)=(rx_0, ry_0, rz_0)$$ Inserta eso en tu expresión y simplifica para ver cómo varía con $r$ por el hecho de ser fijo $P_0$ . Eso debería decirte algo bastante interesante sobre el límite.

Answer 4

El límite para este tipo de problemas no existe, ya que el límite depende de la dirección a la que te acerques. Para el problema que has mencionado, digamos que te acercas a $(0,0,0)$ a lo largo de la dirección $y = m_y x$ y $z = m_z x$ , donde $m_y$ , $m_z$ son algunas constantes, entonces obtenemos $$\displaystyle \lim_{(x,y,z) \rightarrow (0,0,0)} \frac{xy+2yz+3xz}{x^2+4y^2+9z^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{m_y x^2+2m_y m_z x^2 + 3m_z x^2}{x^2+4m_y^2 x^2+9 m_z^2 x^2}$$ Por lo tanto, $$\displaystyle \lim_{(x,y,z) \rightarrow (0,0,0)} \frac{xy+2yz+3xz}{x^2+4y^2+9z^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{m_y + 2m_y m_z + 3m_z}{1 + 4 m_y^2 + 9 m_z^2} = \frac{m_y + 2m_y m_z + 3m_z}{1 + 4 m_y^2 + 9 m_z^2}$$ Puede introducir diferentes valores para $m_y$ y $m_z$ y obtendrá diferentes valores.

A continuación se muestran algunos ejemplos de los diferentes límites que se obtienen al acercarse en diferentes direcciones.

Si tiende a cero a lo largo de la dirección $(1,0,0)$ es decir $m_y = m_z = 0$ , entonces obtenemos $$\displaystyle \lim_{(x,y,z) \rightarrow (0,0,0)} \frac{xy+2yz+3xz}{x^2+4y^2+9z^2} = 0.$$

Si tiende a cero a lo largo de la dirección $(1,1,0)$ es decir $m_y = 1$ y $m_z = 0$ , entonces obtenemos $$\displaystyle \lim_{(x,y,z) \rightarrow (0,0,0)} \frac{xy+2yz+3xz}{x^2+4y^2+9z^2} = \frac15.$$

Si tiende a cero a lo largo de la dirección $(1,0,1)$ es decir $m_y = 0$ y $m_z = 1$ , entonces obtenemos $$\displaystyle \lim_{(x,y,z) \rightarrow (0,0,0)} \frac{xy+2yz+3xz}{x^2+4y^2+9z^2} = \frac3{10}.$$

Si tiende a cero a lo largo de la dirección $(1,1,1)$ es decir $m_y = 1$ y $m_z = 1$ , entonces obtenemos $$\displaystyle \lim_{(x,y,z) \rightarrow (0,0,0)} \frac{xy+2yz+3xz}{x^2+4y^2+9z^2} = \frac37.$$