Combinaciones únicas de cadenas

Question

Si tengo la cadena Delaware y quiero calcular cuántas cadenas únicas se pueden hacer con las letras de esta palabra, sé que la respuesta es 8! /(2!)(2!) y que la razón por la que dividimos por 2! y 2! es porque las letras a son iguales y las letras e son iguales, y esas cadenas se contarán dos veces.

Por ejemplo,

e(1)e(2)a(1)a(2)Dlwr es equivalente a e(2)e(1)a(1)a(2)Dlwr (estoy usando los números de la cadena para representar la misma letra en la siguiente cadena)

Sin embargo, no entiendo por qué dividimos por el número de repeticiones. Si alguien pudiera dar una respuesta fácilmente comprensible para alguien que no haya hecho demasiada combinatoria, sería increíble.

Answer 1

Imagine un ejemplo más sencillo.

TOtE

Si todos los arreglos fueran únicos, iríamos con $4!$ .

Pero sabemos que TOtE es lo mismo que tOTE. De hecho, siempre habrá $2!$ formas en las que se pueden disponer las t que son iguales. Sólo queremos contar una de ellas, así que dividimos por $2!$ . Del mismo modo, si una letra se repite 3 veces, se puede organizar $3!$ formas, pero sólo queremos contar 1 de ellas, así que dividimos por $3!$

Para una letra repetida 3 veces, vamos con $CH\color{red}E\color{blue}ES\color{green}E.$

$CH\color{red}E\color{blue}ES\color{green}E,\space CH\color{red}E\color{green}ES\color{blue}E,\space CH\color{blue}E\color{red}ES\color{green}E,\space CH\color{blue}E\color{green}ES\color{red}E,\space CH\color{green}E\color{red}ES\color{blue}E,\space CH\color{green}E\color{blue}ES\color{red}E\space $

$HC\color{red}E\color{blue}ES\color{green}E,\space HC\color{red}E\color{green}ES\color{blue}E,\space HC\color{blue}E\color{red}ES\color{green}E,\space HC\color{blue}E\color{green}ES\color{red}E,\space HC\color{green}E\color{red}ES\color{blue}E,\space HC\color{green}E\color{blue}ES\color{red}E\space $

Cada uno de los conjuntos de 6 es realmente idéntico por lo que tendremos que dividir por $3!$

Answer 2

Consideremos primero el siguiente problema, diferente pero relacionado: ¿cuántas palabras se pueden formar ordenando las ocho letras diferentes de $DE_1LA_1WA_2RE_2$ ? La respuesta es $8!$ porque estamos ordenando $8$ diferentes "letras" (o símbolos si no se quiere llamar $A_1$ una letra). Las palabras que obtenemos incluyen, por ejemplo $$A_1DRE_2A_2E_1WL\quad\hbox{and}\quad A_2DRE_2A_1E_1WL\ .$$ Sin embargo, para su problema, los subíndices del $A$ s no están ahí, por lo que estas palabras son ambas iguales, y las hemos contado dos veces cuando deberíamos haberlas contado una. Así que $8!$ es incorrecto para este problema y tenemos que dividir por $2!$ . De hecho, entonces todavía tenemos $$ADRE_2AE_1WL\quad\hbox{and}\quad ADRE_1AE_2WL\ ,$$ por lo que todavía hemos contado cada palabra dos veces a causa de $E_1$ y $E_2$ y tenemos que dividir por $2!$ de nuevo.