Estados estacionarios de la mecánica cuántica

Question

Estoy haciendo un curso de introducción a la mecánica cuántica y tengo algunos problemas para entender qué pasa exactamente con la partícula en estados estacionarios frente a su combinación lineal que es la solución completa de la ecuación de Schrödinger.

En el libro de Griffith, dice que la ecuación de Schrödinger es análoga a la segunda ley de Newton por lo que la ecuación de onda es análoga a la trayectoria de la partícula. Así que $(x,t=a)$ es análogo a decir clásicamente dónde está la partícula en x durante el tiempo a. Hasta aquí la partícula no se mueve, sólo puede aparecer en ciertos lugares (definidos por $||^2$ si lo midiéramos).

En el capítulo 2 hablamos de los estados estacionarios. Dice que son estados de energía total definida $K+V=H$ y $(x,t)=(x)e^{-\mathrm{i}Et/h}$ . ¿Se mueve la partícula o qué hace en estos estados? ¿Es un estado estacionario análogo a un sistema cerrado clásico en el que la energía total se conserva y no se realiza ningún trabajo en el sistema? Si es así, ¿qué hace $(x,t)=\sum(x)e^{-\mathrm{i}Et/h}$ representan, el trabajo que se está haciendo en la partícula?

Answer 1

Soluciones que se pueden escribir como $$\Psi (x, t) = \Phi (x) e^{-iEt/\hbar} $$ se denominan estacionarios.

Para demostrarlo $$|\Psi (x, t)|^2 = \Psi^* (x, t)\Psi (x, t)$$ $$= (\Phi (x)e^{-iEt/\hbar})^*\Phi (x)e^{-iEt/\hbar}$$ \begin{align} &=\Phi ^*(x)e^{iEt/\hbar}\Phi (x)e^{-iEt/\hbar}\\ &=\Phi ^*(x)\Phi(x)\\ &=|\Psi (x)|^2\\ \end{align}

La dependencia de $t $ ha desaparecido. La parte espacial de la función de onda satisface la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo. (E.T.I.)

En el capítulo 2 hablamos de los estados estacionarios. Dice que son estados de energía total definida K+V=Hamiltoniana . ¿Se mueve la partícula o qué hace en estos estados? ¿Es un estado estacionario análogo a un sistema cerrado clásico donde la energía total se conserva y no se realiza ningún trabajo en el sistema? Si es así, ¿qué representa la función de onda, el trabajo que se realiza sobre la partícula?

En el extracto de tu post, está claro que estás pensando en términos clásicos, en realidad es la palabra estacionario que te ha confundido.

La solución de la ecuación de Schroedinger se llama estacionaria porque la densidad de probabilidad no depende del tiempo. $V(x)$  no depende del tiempo.

No tiene nada que ver con el trabajo, es sólo que la palabra "estacionario" ahora significa que el término potencial $V (x) $ en el T.I.S.E. no tiene ninguna variable de tiempo. Te estás liando con las ideas clásicas porque no te ha quedado claro lo que significa estacionario en quantum mecánica, está pensando en lo que significa en clásico mecánica.

¿Pero qué hace la partícula? En la clásica sé que encontramos la posición, la trayectoria de la partícula, la velocidad, la energía, etc. Hasta ahora en la cuántica sólo he encontrado soluciones a una ecuación deferencial, pero no estoy seguro de lo que la partícula está haciendo en los estados. Las probabilidades cambian con el tiempo en los estados de superposición, ¿qué significa eso para la partícula? Se está moviendo cuando las probabilidades cambian, ¿qué pasa con la velocidad que juega un papel en esta cosa mientras que la solución

¿Pero qué hace la partícula?

Para ser explícito, esta pregunta no tiene sentido cuando se considera una superposición de estados ya que, si hay digamos 5 niveles de energía en los que el electrón "podría" estar (o realmente es en) todos o alguno de ellos al mismo tiempo, el único nivel de energía que tiene importancia real, es el que encontramos cuando medimos el sistema.

El movimiento y la velocidad son conceptos que no se trasladan bien al mundo cuántico. Si se patea un balón de fútbol hacia la portería, se puede medir fácilmente su velocidad y posición (mirándolo) en cualquier momento.

Pero un electrón, digamos, no tiene una trayectoria definida, si no se mide, se puede considerar que está en una superposición de estados. Así que no hay una trayectoria definida, sólo una probabilidad de encontrar el electrón donde se espera que esté. El mismo razonamiento se aplica a la "velocidad" de la partícula.

Cuando se resuelve un S. E. unidimensional, se obtiene una superposición de estados, todos ellos evolucionando en el tiempo. Pero más adelante tendrás que resolver una real 3 d, como los estados de los electrones alrededor de un núcleo de H.

Piensa en energía en lugar de movimiento y velocidad. En ese nivel de energía, el movimiento y la velocidad no son importantes, sólo lo es la energía, porque el electrón necesita seguir las reglas de ese nivel de energía.

Tienes una superposición de estados, todos con diferentes energías y una cierta probabilidad de estar en cualquier estado de energía particular. Cuando se mide, se encuentra un estado con una energía determinada y la superposición desaparece. Cuando te alejas y vuelves al átomo de H, tienes todo el asunto empezando de nuevo. En cuanto lo mides, "congelas" el sistema pero luego vuelve a entrar en un sistema de "quizás este nivel de energía", "quizás aquel nivel de energía".

Así es la QM.

1. Los niveles de energía alrededor de un átomo de H están en ciertos valores discretos.

2. Cuando un electrón está en ese nivel de energía, su "movimiento y velocidad" están determinados por su energía.

3. Los otros estados de superposición desaparecen, por lo que no hay que preocuparse por ellos cuando se hace una medición.

4. En cuanto se termina la medición, todo vuelve a ser una superposición de estados.

Una imagen de los estados en los que podría estar un determinado electrón, no se sabe hasta que se mide.