Por qué se define pseudorapidity como $-\log \tan \theta/2$

Question

¿Por qué el registro? ¿Es allí que el crecimiento de la función más lento?

Como se trata de un observable experimental común, no parece razonable tomar el rango de $[0,\infty)$ $(-\infty,\infty)$ (para una partícula emitida en el eje de la viga después de colisión $\theta = 0$ sería mejor tener un número que dice qué tan cerca está a cero en lugar de una dice cómo es grande un número que es. Espero que aclara la pregunta.)

Answer 1

La ventaja de esta definición es que las diferencias en pseudorapidity son invariantes bajo aumenta a lo largo de la $z$ eje. Específicamente, considere la posibilidad de una transformación de Lorentz correspondiente a un impulso de velocidad $\beta\hat{z}$. Dado que la tangente es básicamente una distancia transversal a través de una distancia longitudinal, se transforma en virtud de un Lorentz impulso a lo largo del eje longitudinal con un factor de $\gamma$:

$$\tan\phi \sim\frac{\Delta x_T}{\Delta x_L} \qquad\to\qquad \tan\phi' = \frac{\Delta x_T}{\Delta x_L/\gamma} = \gamma\tan\phi$$

y si pones en el pseudorapidity fórmula, puede encontrar

$$\eta = -\log\biggl(\tan\frac{\theta}{2}\biggr) \qquad\to\qquad \eta' = -\log\biggl(\tan\frac{\theta}{2}\biggr) - \log\gamma$$

El primer término es una función de la trayectoria de la partícula, pero el segundo término es una función de refuerzo parámetro sólo - no depende de la partícula. Así que si usted tiene dos partículas saliendo de una colisión con pseudorapidities $\eta_1$$\eta_2$, $\log\gamma$ plazo es el mismo para ambos, y así, cuando se toma la diferencia se cancela:

$$\eta_1 - \eta_2 = \eta_1' - \eta_2'$$

La razón por qué es tan importante mantener la pseudorapidity diferencia invariante es que en la física de partículas, la gente como para hacer parcelas llamado "lego parcelas", que muestran la distribución direccional de las partículas detectadas después de una colisión. Al hacer esto, usted podría parcela de la partícula detecciones frente a la polar y azimutales $\theta$$\phi$. Pero si usted utiliza pseudorapidity en lugar del ángulo $\theta$, el hecho de que $\Delta\eta$ es invariante significa que usted puede realizar un Lorentz impulso en sus datos sólo en la traducción de todo el gráfico a lo largo de la $\eta$ eje.

Esto es útil porque en el colisionador de colisiones, es a menudo el caso de que uno de los quarks o los gluones involucrado en la colisión puede tener mucha más fuerza que el otro, de modo que todas las partículas producidas salir cerca de un extremo del detector. Pero por traducir el gráfico adecuado, puede efectivamente desplazamiento del centro-de-masas del marco de la colisión de los quarks o los gluones, donde las partículas que salen distribuidos de forma simétrica, y es mucho más fácil de analizar.

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Por el camino, y la razón es $\tan\frac{\theta}{2}$ en lugar de sólo $\tan\theta$ es que nos gustaría que un chorro que sale de la colisión en el $\theta \approx \frac{\pi}{2}$, donde la resolución es mejor, para tener la misma forma en el lego de la trama como en el espacio físico. En particular, una circular en la que jet debe aparecer circular en el gráfico. Esto requiere que las dos coordenadas se puede escalar de la misma manera. Si estamos usando $(\theta,\phi)$ como la dirección de las coordenadas, esto no sería un problema, ya que ambos se miden en radianes, por lo que sólo tenemos que elegir una escala de $\eta$ de manera tal que un pequeño incremento en $\theta$ cerca de $\frac{\pi}{2}$ corresponde a la misma numérico incremento en $\eta$:

$$\biggl|\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}\theta}\biggr|\biggl(\theta=\frac{\pi}{2}\biggr) = 1$$

El argumento de la primera parte del post (junto con un poco de sentido común de las condiciones que básicamente requiere que psuedorapidity ser definida como

$$\eta = -\log(\tan a\theta)$$

para algunas constantes $a$. Enchufar a la derivada da

$$\biggl|\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}\theta}\biggr|_{\frac{\pi}{2}} = \biggl|\frac{a\,\sec^2(a\theta)}{\tan(a\theta)}\biggr|_{\frac{\pi}{2}} = \biggl|\frac{a}{\sin(a\theta)\cos(a\theta)}\biggr|_{\frac{\pi}{2}} = \frac{2a}{\sin(2a\pi/2)} = 1$$

(Estoy abusando de la notación un poco por el uso de barras verticales, tanto en valor absoluto y de sustitución, pero esperemos que el significado es claro.)

Este es un trascendental ecuación, por lo que no se puede resolver analíticamente, pero con un poco de razonamiento matemático no es difícil convencerse de que $a = \pm\frac{1}{2}$ son el único distinto de cero soluciones. Tener un argumento negativo para un logaritmo aporta un extra de término imaginario, aunque iba a cancelar todos modos, así que podemos elegir también la positiva.

Answer 2

Oh dios.. recuerdo que destacar por encima de ésta, cuando yo empecé en la física de partículas. :)

Con respecto al uso del registro: Esto es sólo una hiperbólica trig cosa. Primero anote el pseudorapidity el uso de los ímpetus perpendiculares y paralelas a la viga de la línea como lo hacen en la segunda expresión aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Pseudorapidity

A continuación, utilice el hiperbólico inverso identidades encontrar aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_cosine

y usted puede volver al ángulo.

Con respecto a su uso experimental observables: Hay dos razones de alta energía chicos prefieren usar (de wikipedia):

• Pseudorapidity sólo depende del ángulo polar de su trayectoria, y no en la energía de la partícula. (agradable a veces, cuando usted está comparando los datos de un detector para la próxima)

• En el colisionador de hadrones de la física, la rapidez (o pseudorapidity) es preferido sobre el ángulo polar θ porque, a grandes rasgos, la producción de partículas es constante, como una función de la rapidez. Se habla de "adelante" de la dirección en un experimento colisionador de hadrones, que se refiere a las regiones del detector, que están cerca del eje de la viga, en alto | η | .