¿Para qué valores de $n$ en $[0,1]$ es $(\cos(x))^{n}>\cos(nx)$ ?

Question

¿Para qué valores de $n$ en $[0,1]$ es $(\cos(x))^{n}>\cos(nx)$ ?

¿Existe algún método estándar para este tipo de problemas?

¿Debo usar el cálculo y definir una función $h(x)$ como la diferencia de las dos funciones y diferenciar? Pero ese método parece demasiado largo y tedioso.

¿Es posible algún camino alternativo?

Vale, he descubierto que es más fácil de lo que pensaba

He trazado un gráfico aquí en Desmos

Ahora lo veo claro.Gracias a todos los que han contestado.

Answer 1

Suponiendo que $-\pi/2 < x < \pi/2$ , $\cos(x)^n$ es una función positiva y convexa de $n$ en $[0,1]$ , mientras que $\cos(nx)$ es estrictamente cóncavo. Ambos son iguales a $1$ cuando $n=0$ y $\cos(x)$ cuando $n=1$ . Por lo tanto, $\cos(x)^n < \cos(nx)$ para todos $n \in (0,1)$ .

Es más complicado si $x$ no está en este intervalo (por supuesto que queremos $\cos(x) \ge 0$ para que el lado izquierdo sea real).