otra definición de las funciones de Lebesgue

Question

Supongamos que $U(I)$ son todas las funciones $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que existe una secuencia creciente $(\phi_n)_n$ de funciones simples tales que $ \lim\int_{a}^{b}\phi_n<\infty $ y $\phi_n\to f$ (casi en todas partes). Y asuma que $U_0(I)$ son todas las funciones $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que existe una secuencia creciente $(\phi_n)_n$ de funciones simples tales que $ \lim\int_{a}^{b}\phi_n<\infty $ y $\phi_n\to f$ .

¿Es cierto que toda función Superior (= todo elemento de U(I)) es casi siempre igual a un elemento de $U_0(I)$ ?

Answer 1

Si $\phi_n\to f$ casi en todas partes esto significa que $\mathbf{1}_{A}\phi_n\to \mathbf{1}_{A}f$ en todas partes para algún conjunto medible $A\subset \mathbb{R}$ tal que $\mu(A^\complement )=0$ (aquí $\mu$ es la medida definida en $[a,b]$ puede ser la medida de Lebesgue o cualquier otra). Ahora bien, hay que tener en cuenta que $\mathbf{1}_{A}f=f$ casi en todas partes.