Demuestre que la siguiente es una métrica válida en un espacio métrico $(M,d)$

Question

Dejemos que $M$ sea un conjunto cualquiera y $d$ una función de valor real y no negativa sobre $M\times M$ tal que para todo $x,y,z \in M$ :

$d(x,y)=0$ si $x=y$ (I)

$d(x,y)\leq\max\{d(x,z),d(y,z)\}$ (II)

Así que entiendo que para esto hay que usar los axiomas.

i) $d(x,y)\geq0$ esto se deduce directamente de la definición escrita anteriormente y de (I)

ii) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)$ esto se deduce de (II) porque como $d(x,y)$ es menor que el máximo de ese conjunto y $d(a,b)\geq0$ para cualquier $a,b\in M$ entonces se deduce que si $d(x,y)$ es menor que el máximo de dos valores positivos, entonces es menor que su suma

iii) $d(x,y)=d(y,x)$ El problema: aquí es donde estoy atascado. No sé cómo proceder con esto porque parece que no hay suficiente información para deducirlo (lo más probable es que me falte algún punto clave). Lo único que se me ocurre es quizás justificarlo con el hecho de que dice "para todos $x,y,z \in M$ ", pero eso parece una salida fácil.

Answer 1

Poner $z=x$ en (II) y utilizar (I) para obtener

$$d(x,y)\le d(y,x).$$

Intercambio $x,y$ da la desigualdad opuesta.

Answer 2

Para demostrar que $$d(x,y)=d(y,x)$$ Dejemos que $x=z$ en $$d(x,y)\leq\max\{d(x,z),d(y,z)\}$$ para conseguir $$d(x,y)\le d(y,x)$$

Ahora cambie $x$ et $y$ para conseguir el otro lado de la desigualdad y ya está.