¿Es todo grupo finito de 2 generaciones un cociente de un grupo de 2 generaciones sin Frattini?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito de 2 generaciones. ¿Es $G$ el cociente de un grupo finito de 2 generaciones $G'$ con $\Phi(G') = 1$ ?, donde $\Phi(G')$ es su subgrupo Frattini.

Answer 1

Sí. Aquí hay un boceto de una prueba. Puedo completar cualquier detalle que sea necesario.

Dejemos que $p$ sea un primo que no divide a $|G|$ y que $M_1,\ldots,M_r$ sea un conjunto de módulos irreducibles no isomorfos para $G$ en ${\mathbb F}_p$ tal que ningún elemento de $G$ actúa trivialmente en cada $M_i$ . (Por lo tanto, si $G$ tiene un módulo irreducible fiel, entonces podemos tomar $r=1$ .)

Dejemos que $M=M_1 \oplus \cdots \oplus M_r$ sea la suma directa de los $M_i$ y que $G'$ sea el producto semidirecto $M \rtimes G$ .

No es difícil demostrar que los productos semidirectos $M_i \rtimes G$ son todos $2$ -generada (ya que de lo contrario $M_i$ tendría al menos $|M_i|^2$ complementos distintos en $M_i \rtimes G$ pero todos estos conjugados son conjugados, por lo que tiene como máximo $|M_i|$ ), y luego el hecho de que el $M_i$ son mutuamente no isomórficos implica que $G'$ es $2$ -generado.

Dejemos que $1 \ne g \in G'$ . Tenemos que demostrar que $g \not\in \Phi(G')$ . Si $g \in M$ entonces $g \not\in M_i$ para algunos $i$ , digamos que $i=r$ y luego $g$ no está en el subgrupo máximo $(M_1 \oplus \cdots \oplus M_{r-1}) \rtimes G$ de $G'$ .

De lo contrario, alguna potencia $g^k$ de $g$ tiene un orden coprimo a $p$ . Sabemos que $g^k$ actúa de forma no trivial sobre algunos $M_i$ , digamos que $M_r$ y por Schur-Zassenhaus $g^k$ está contenida en algún conjugado $H$ de $G$ y, por tanto, en el subgrupo máximo $(M_1 \oplus \cdots \oplus M_{r-1}) \rtimes H$ de $G'$ . Conjugando este subgrupo maximal por un elemento de $M_r$ que no centraliza $g^k$ obtenemos un subgrupo máximo de $G'$ que no contenga $g^k$ y por lo tanto no contiene $g$ .