Tenemos que $\gamma_5 = -\frac{i}{4!} \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\rho \gamma_\sigma$ . Utilizando esto, ¿qué enfoque se sugeriría para demostrar que $\gamma_5 \gamma^\sigma = \frac{1}{3!} \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\rho$ ? Se podría pensar que la solución es que \begin{equation} \gamma_5 \gamma^\sigma = -\frac{i}{4!} \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\rho \gamma_\sigma \gamma^{\sigma} = -\frac{i}{4!} \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\rho \times 4 = \frac{1}{3!} \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_\rho, \end{equation} lo que no tiene sentido...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
thierryb
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Efectivamente, tienes razón en que confundir un índice ficticio saturado con un índice libre no tiene sentido.
Sin embargo, usted sabe que $$ \gamma_5 \gamma^\kappa= \tfrac{1}{2}[ \gamma_5 ,\gamma^\kappa ], $$ Entonces, ¿qué sucede si sustituyes la expresión cuadrilínea en el conmutador? Sabes que el término principal, el quintilíneo, desaparece. Así que sólo pueden sobrevivir los trilineales. Puedes calcularlos fácilmente. ¿Qué suman los 4 tales?
