Dada la función $$f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3y^2}{x^4 + y^4} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$$ ¿Cómo probaría (o refutaría) las siguientes afirmaciones?
- $f$ tiene todas las derivadas parciales en $(0,0)$ .
- $f$ tiene todas las derivadas direccionales en $(0,0)$ .
- $f$ tiene un diferencial en $(0,0)$ .
- $f$ tiene derivadas parciales continuas en una vecindad de $(0,0)$ .
Para la primera sólo utilicé la fórmula de la derivada direccional y la sustituí en la base estándar $(1,0)$ y $(0,1)$ . La fórmula del límite es $$\begin{array}\ D_xf(0) & = \lim_{t \to 0}\frac{f(0 + tv) - f(0)}{t} \\ & = \frac{v_1^3v_2^2}{v_1^4 + v_2^4} \end{array} $$ para $v = (v_1, v_2)$ . Y así claramente sustituyendo en $(1,0)$ y $(0,1)$ da que las dos derivadas parciales son ambas cero. Esto también demuestra el segundo punto de que todas las derivadas direccionales existen en $(0,0)$ .
Para el tercer punto, como ambas derivadas parciales son $0$ el diferencial en $(0,0)$ sería $(0 \;\; 0)$ y esto significaría que la derivada direccional en cualquier dirección en $(0,0)$ sería $0$ también, lo que claramente no es.
Para el tercer punto me inclino por decir que como la función no es diferenciable en $0$ y todas las derivadas parciales existen entonces si las derivadas parciales serían continuas. Por lo tanto, como hemos demostrado que no es differnetiable, entonces todas las derivadas parciales no pueden ser continuas.
¿Es correcto mi razonamiento en estas preguntas?
Una pregunta de seguimiento de la última parte: Si una función es diferenciable en un punto concreto, significa que sus parciales son continuos en ese punto, pero ¿significa esto que todos sus parciales son continuos en alguna vecindad de ese punto? En otras palabras, ¿cómo demostrarías la última parte de forma más general? (Si digamos que es cierto).
Gracias.
