¿Cada grupo finito generado tiene un subgrupo normal maximal?

Question

¿Dado un grupo infinito que es finitamente generado, existe un subgrupo normal maximal adecuado?

Answer 1

Suponiendo que te refieres a "hace una máxima normal subgrupo siempre existir?" (y que no se preocupan acerca de la computación), aquí es una manera de replantear el problema. Observe que si G no tiene máximo normal de los subgrupos, lo que significa que cada normal y adecuada subgrupo H de G es contenida en un mayor tamaño normal y adecuada subgrupo K de G. En particular, esto significa que el grupo G/H no debe ser finito; si lo fuera, sólo podríamos encontrar un número finito de la cadena de subgrupos normales entre H y G. Así que la pregunta "¿ un máximo normal subgrupo siempre existe" es lo mismo que "debe una finitely generado grupo tiene finita no trivial de los cocientes?" No estoy seguro de cuál es la respuesta a eso es, pero parece una útil reformulación.

Answer 2

Si te refieres a que no sea trivial máxima subgrupo normal (no 1 o el total del grupo), entonces la respuesta es no.

Higman construido un finitely generado infinito del grupo G con ningún subgrupo de índice finito. Usted, a continuación, obtener una finitely generado grupo no trivial normal subgrupos, tomando el cociente por un máximo normal de los subgrupos.

Higman del grupo G es < a,b,c,d | a^-1 b = b^2 b^-1cb = c^2, c^-1dc=d^2, d^-1ad=a^2 >

Ver Higman, Graham. Un finitely generado infinito simple grupo. J. Londres Matemáticas. Soc. 26, (1951). 61--64.

Editar:

Si te refieres a ¿tiene una adecuada máxima normal de los subgrupos, entonces la respuesta es sí:

Finitely generado grupos (posiblemente trivial) máxima normal de los subgrupos. Higman de referencia de esta es la B. H. Neumann, "Algunas observaciones sobre el infinito grupos ", Revista de Londres Matemáticas. Soc, 12 (1937), 120-127.

Answer 3

Tantas respuestas! Soy comletely perdido. El papel de "B.H. Neumann,"Algunas observaciones sobre grupos infinitos", revista matemática de Londres. SOC, 12 resultados (1937), 120-127" declaradas la existencia de subgrupos de máximos, no máximo subgrupo normal. ¿Es esta cuestión de la existencia de subgrupos normales no trivial todavía sin resolver?

Answer 4

Compruebe hacia fuera el monstruo de Tarski. Es simple y genera 2.
Si no entendido mal tu pregunta y excluir a grupos simple infinitos en conjunto.