división de una extensión central

Question

Quiero demostrar la siguiente versión del lema de división. Sea $G,K$ sean grupos topológicos. Sea $1\to G\xrightarrow{\phi}H\xrightarrow{\eta}K\to1$ sea una extensión central de $K$ por $G$ . Entonces $\phi$ y $\eta$ son homomorfismos continuos y $\phi(G)\cong \ker(\eta)\subseteq Z(H)$ . Supongamos que esta extensión es trivial, es decir, que existe una sección $\mu:K\to H$ tal que $\eta\circ\mu=Id_K$ . Entonces $H\simeq G\times K$ .

Defino $\Psi:G\times K\to H$ por $\Psi(g,k)=\phi(g)\mu(k)$ . La continuidad de este mapa es clara. Además, es un homomorfismo ya que $\phi(g)\in Z(H)$ para todos $g\in G$ . Quiero demostrar que es un isomorfismo, pero estoy atascado probando tanto la subjetividad como la inyectividad. Para construir un mapa inverso $\Phi:H\to G\times K$ Quiero hacer algo como $\Phi(h)=(…,\eta(h))$ y usando eso $\mu$ es una sección, pero no puedo entenderlo.

Answer 1

Subjetividad

Para $h\in H$ considere $x=h(\mu\circ\nu)(h^{-1})$ .

Esto da $\nu(x)=\nu(h)(\nu\circ\mu\circ\nu)(h^{-1})=\nu(h)\nu(h^{-1})=1_K$ .

Por lo tanto, hay algo de $g\in G$ con $\phi(g)=x$ .

Juntos hemos $h=x(\mu\circ\nu)(h)=\Psi(g,\nu(h))$

Inyectabilidad

Si $\Psi(g,k)=1$ entonces $\phi(g)\mu(k)=1_H$ así que $\nu\circ\mu(k)=1_K$ así que $k=1_K$ .

Por lo tanto, $\phi(g)=1_H$ así que $g=1_G$ .